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Existem estratégias populares para os jogos de roleta em cassinos?

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perguntada Jan 21, 2016 em Estatística por danielcajueiro (5,666 pontos)  

Para ser mais preciso na resposta, considere a roleta americana apresentada abaixo:

A imagem será apresentada aqui.

A imagem será apresentada aqui.

Note que ela tem duas casas verdes 0 e 00, 18 casas vermelhas e 18 casas pretas.

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1 Resposta

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respondida Jan 21, 2016 por danielcajueiro (5,666 pontos)  

Eu acho que a mais popular é aquela conhecida como Martingale. Essa estratégia é implementada usando um dos seguintes tipos de apostas (cujos nomes são dados em francês por causa da origem da Roleta que foi na França):

1) Manque (apostar nos números 1 a 18) ou Passe (apostar nos números 19 a 36)

2) Impair (apostar nos números ímpares) ou Pair (apostar nos números pares)

3) Rouge (apostar nos números vermelhos) ou Noir (apostar no números negros)

Em qualquer uma das três apostas acima, se você ganhar, você recebe exatamente a mesma quantia que apostou. Por exemplo, suponha que você apostou 10 reais no tabuleiro da figura acima no "1 to 18" (manque) e ganhou. Nesse caso, você receberá de volta a quantia que apostou adicionado de 10 reais dando o total de 20 reais.

Note que a probalidade de ganhar em qualquer um dos casos acima (1, 2 ou 3) é \(\frac{18}{38}=0.4737\)

Em que consiste essa estratégia conhecida como martingale?

A idéia é bem simples. Comece apostando com o valor mínimo da mesa. Se você perde, você dobra a aposta e repete o mesmo procedimento até ganhar.

Por exemplo, vamos considerar que você aposta 1 real no Manque, isto é nos números "1 a 18", e sai o número 25. Então, você perde o que apostou.

Na aposta seguinte, você aposta 2 reais no manque. Se você ganhar, você recebe seus 2 reais apostados e mais 2 reais dando um total de 4 reais. Nesse caso, você recupera o gasto anterior de 1 real (primeira aposta) + 2 reais (essa aposta) e tem um retorno líquido de 1 real. Por outro lado, se você perder, você agora aposta 4 reais. Se ganhar você recupera 1 real (primeira aposta) + 2 reais (segunda aposta) + 4 reais (essa aposta) e tem um lucro líquido de 1 real.

Eu sempre ganho?

Na verdade, não. Essa estatégia é bem arriscada, pois o valor que você precisa apostar para manter o sistema cresce muito rapidamente.

casanova

Esse risco já está descrito no "Volume II - Paris" das Complete Memoires of Casanova - Casanova Giacomo:

Before leaving, M. M. (the Casanova's Mistress) asked me to go to her casino, to take some money and to play, taking her for my partner. I did so. I took all the gold I found, and playing the martingale, and doubling my stakes continuously, I won every day during the remainder of the carnival. I was fortunate enough never to lose the sixth card, and, if I had lost it, I should have been without money to play, for I had two thousand sequins on that card. I congratulated myself upon having increased the treasure of my dear mistress, who wrote to me that, for the sake of civility, we ought to have a supper 'en partie carree' on Shrove Monday. I consented.

De fato, duas situações podem ocorrer:

1) Sua grana pode terminar.

2) O valor que você precisaria apostar para continuar no sistema poderia alcançar o limite da mesa.

Por exemplo, considere que o limite da mesa seja 500 reais. Note que se a faixa de valores que você apostou não sair em 9 apostas consecutivas, você perde

\(1+ 2+ 2^2+ 2^3+2^4+ 2^5+2^6+ 2^7 + 2^8\)

\(=1+2+4+8+16+32+64+128+256=511\) reais.

Por outro lado, nessa sequência você ganha apenas 1 real.

1) A probabilidade de ocorrer "manque" na primeira aposta é \(p=\frac{18}{38}\).

A probabilidade de ele ocorrer na segunda aposta é \(p\times (1-p)\).

A probabilidade de ele ocorrer na terceira aposta é \(p\times (1-p)^2\) e assim por diante.

Logo, a probabilidade de ocorrer o manque em \(n\) apostas é dada por pela distribuição geométrica acumulada com parâmetros \(n=9\) e \(p=\frac{18}{38}\), isto é,

\[P_{\text{Manque}}=p+p(1-p)+\cdots+p(1-p)^8=p(1-p^9)/p=1-(1-p)^9,\]

usando a fórmula de soma de uma progressão geométrica.

Logo, com probabilidade \(P_{\text{Manque}}\) o jogador receberá 1 real.

2) A probabilidade de não ocorrer manque em até 9 apostas é \((1-P_{\text{Manque}})\). Logo, com essa probabilidade ele perde 511 reais.

Logo, a perda esperada dessa estratégia é \(P_{\text{Manque}}\times 1 - (1-P_{\text{Manque}})\times 511=-0.58\), ou seja, a perda é de 58 centavos

No Python, podemos fazer essa conta facilmente usando explicitamente a distribuição geométrica:

import scipy.stats

if __name__ == '__main__':

    initialBet=1
    p=18.0/38.0

    maxBet=500

    bet=initialBet
    sumBet=0
    count=0
    while(bet<maxBet):
        sumBet=sumBet+bet
        count=count+1.0        
        bet=bet*2

    prob = scipy.stats.geom.cdf(count, p)    
    valorEsperado=initialBet*prob-sumBet*(1-prob)
    print "Valor Esperado",valorEsperado    

Existem variações dessa estratégia?

Sim! As mais conhecidas são:

1) Uma delas no caso de perda, ao invés de dobrar a aposta anterior, dobra-se aposta e soma-se uma unidade.

2) Uma outra no caso de ganho, não se retorna a aposta inicial, mas inicia-se a aposta no valor ganho.

Que tal explorar essas estratégias como exercício.

Sugestão de Leitura

Um outro problema também interessante que, em vários aspectos, tem uma estrutura parecida com essa estratégia discutida aqui é o Paradoxo de St. Petersburg. Se você ainda não conhece, dê uma olhada!

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