Quais são os teoremas mais bonitos da matemática?

Question

Talvez beleza aqui possa ser expressa aqui em termos de Simplicidade e Impacto.

Answer 1

Um teorema com prova muito simples que possivelmente deve pertencer a essa lista é o Teorema de Euclides que versa sobre a existência de um número infinito de primos. A prova é particularmente bem simples. Suponha que existam \(n\) primos \(p_1,p_2,\cdots,p_n\). Considere o número \(f=(p_1\times p_2 \times \cdots p_n )+ 1\). Logo, existem duas possibilidades, ou ele é ou não é primo. Note que ele só pode ser primo, pois a divisão de \(f\) por \(p_i\) sempre tem resto 1. Logo, \(f\) é um outro primo que não pertence a essa lista que é uma contradição, pois supomos que existiam \(n\) primos apenas.

Answer 2

Não tenho dúvidas que outro teorema que deve pertencer a essa lista é o Teorema da Projeção em Espaços de Hilbert. Uma versão mais simples que pode ser entendida facilmente pelo público geral:

"A menor distância de um ponto a uma reta é dada pelo tamanho do segmento de reta que sai do ponto e chega na reta formando um ângulo reto com a reta." Essa versão simplificada está aqui.

A versão geral desse teorema de forma simplificada supõe que o "ponto" \(x\) em questão está em um espaço de Hilbert e estamos interessados na melhor aproximação \(y\) (em termos de norma 2 dada por \(||x||=\sqrt{\langle x,x\rangle}\)) para esse ponto que pertence a um subespaço fechado \(M\) desse espaço. Nesse subespaço fechado (que é completo) essa aproximação sempre existe e o vetor erro \((x-y)\) é ortogonal a \(M\). Intuitivamente, a ortonalidade nesse caso pode ser interpretada como "o vetor \(y\) faz o melhor que pode", isto é, "não posso usar nenhuma informação disponível no erro para melhorar minha aproximação de \(x\)".

Esse teorema tem inúmeras aplicações em Econometria (o modelo de regressão linear é um caso particular) e Engenharia (o filtro de Kalman é uma versão dinâmica do modelo de regressão linear).

Answer 3

Um teorema que deve pertencer a lista é o Teorema de Pitágoras.

Veja a generalidade desse teorema em Espaços com produto interno:

Se \(x,y\in V\) e \(x\perp y\) então \(||x+y||^2=||x||^2 + ||y||^2\).

Prova:

\(||x+y||^2= \langle x+y,x+y\rangle=\langle x,x\rangle + \langle x,y\rangle + \langle y,x\rangle + \langle y,y\rangle\)
\(=||x||^2 + 0 + 0 + ||y||^2=||x||^2 +||y||^2\)