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Qual é uma solução para o exercício 2.A do livro "The Elements of Integration" de Robert G. Bartle?

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perguntada Jan 22, 2016 em Matemática por Saulo (426 pontos)  

Show that \(
\left[ a,b \right] = \bigcap_{n=1}^{\infty}{ \left( a-\frac{1}{n}, b+\frac{1}{n} \right) } \) . Hence, any \(\sigma\)-algebra of subsets of \(\mathbb{R}\) which contains all open intervals also contains all closed intervals. Similarly, \( \left( a,b \right) = \bigcup_{n=1}^{\infty}{ \left[ a+\frac{1}{n}, b-\frac{1}{n} \right] } \), so that any \(\sigma\)-algebra containing all closed intervals also contains open intervals.

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1 Resposta

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respondida Jan 22, 2016 por Saulo (426 pontos)  
selecionada Jan 22, 2016 por danielcajueiro
 
Melhor resposta

Inicialmente, vamos mostrar que:
\[ \left[ a,b \right] = \bigcap_{n=1}^{\infty}{ \left( a-\frac{1}{n}, b+\frac{1}{n} \right) } \]

Considere conjunto \(X = [a,b]\) e o intervalo \(I_n= \left( a-1/n, b+1/n \right)\),
\(n \in \mathbb{N}\). Como \(X \subseteq I_n\), \(\forall n \in \mathbb{N}\), então \(X \subseteq \bigcap_{n=1}^{\infty}{ I_n } = \bigcap_{n=1}^{\infty}{ \left( a-1/n, b+1/n \right) }\). Tome agora \(x \in \bigcap_{n=1}^{\infty}{ I_n }\). Note que \(I_1 \supseteq I_2 \supseteq \cdots \supseteq I_{n-1} \supseteq I_n\). Logo, \(\bigcap_{n=1}^{\infty}{ I_n } = \lim_{n \rightarrow \infty}{ I_n } = \lim_{n \rightarrow \infty}{ \left( a-1/n, b+1/n \right) } \rightarrow \left[ a, b \right]\), \(x \in X = \left[ a, b \right]\). Portanto, \(\bigcap_{n=1}^{\infty}{ I_n } = \bigcap_{n=1}^{\infty}{ \left( a-1/n, b+1/n \right) } \subseteq X = \left[ a, b \right]\). Podemos concluir a igualdade dada pela equação acima.

O próximo passo da questão é mostrar que qualquer \(\sigma\)-álgebra contendo todos intervalos abertos em \(\mathbb{R}\) também contém todos intervalos fechados. Note que a questão quer que se mostre exatamente que a álgebra de Borel \(\mathcal{B}\), gerada por todos os intervalos abertos \( (a,b) \subseteq \mathbb{R}\), também é gerada por todos os intervalos fechados. Considere a \(\sigma\)-álgebra \(\mathcal{F}\) contendo todos intervalos abertos \( (a,b)=\left\{x \in \mathbb{R} : a < x < b\right\}\), ou seja, \(A = \left\{ (a,b) : a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}, a < b\right\} \subseteq \mathcal{F}\), e tome a sequência de conjuntos \(\left( A_n \right) = \left( a-1/n, b+1/n \right) \in \mathcal{F}\). Aplicando De Morgan, conforme mostrado em (2.1) da p. 7 do Bartle, a interseção de uma sequência de conjuntos em \(\mathcal{F}\) também pertence a \(\mathcal{F}\). Logo, \(\bigcap_{n=1}^{\infty}{ \left( a-1/n, b+1/n \right) } = \left[ a,b \right] \in \mathcal{F}\). Como \(a, b\) são arbitrários, concluimos que a \(\sigma\)-álgebra \(\mathcal{F}\) contém todos os intervalos fechados.

Similarmente, vamos mostrar que:
\[ \left( a,b \right) = \bigcup_{n=1}^{\infty}{ \left[ a+\frac{1}{n}, b-\frac{1}{n} \right] } \]

Considere conjunto \(X = (a,b)\) e o intervalo \(I_n= \left[ a+1/n, b-1/n \right]\),
\(n \in \mathbb{N}\). Como \(I_n \subseteq X\), \(\forall n \in \mathbb{N}\), então \(\bigcup_{n=1}^{\infty}{ I_n } = \bigcup_{n=1}^{\infty}{ \left[ a+1/n, b-1/n \right] } \subseteq X\). Tome agora \(x \in X = (a, b)\). Como \(X\) é aberto, \(\forall x \in X\),
\(\exists \varepsilon > 0\) tal que \(B(x, \varepsilon) = \left\{ y \in \mathbb{R} : \left| y - x \right| < \varepsilon \right\} \subseteq X\). Temos as seguintes situações:

(1) \(a < x < \frac{a+b}{2}\): \(\exists n_1 \in \mathbb{N}\), sendo \(a + \frac{1}{n_1} < x - \varepsilon \rightarrow \frac{1}{n_1} < x - a - \varepsilon\), tal que \(B(x, \varepsilon) \subseteq I_{n_1}\).

(2) \(\frac{a+b}{2} < x < b\): \(\exists n_2 \in \mathbb{N}\), sendo \(b - \frac{1}{n_2} > x + \varepsilon \rightarrow \frac{1}{n_2} < b - x - \varepsilon\), tal que \(B(x, \varepsilon) \subseteq I_{n_2}\).

(3) \(x = \frac{a+b}{2}\): \(\exists n_3 \in \mathbb{N}\), sendo \(\frac{1}{n_3} < \frac{b-a}{2} - \varepsilon\), tal que \(B(x, \varepsilon) \subseteq I_{n_3}\).

Em qualquer situação, \(\exists n^{\ast} \in \mathbb{N}\) tal que \(\forall x \in X\), temos \(B(x, \varepsilon) \subseteq I_{n^{\ast}}\) e, consequentemente, \(x \in I_{n^{\ast}}\). Logo,
\(X \subseteq I_{n^{\ast}} \subseteq \bigcup_{n=1}^{\infty}{ I_n } = \bigcup_{n=1}^{\infty}{ \left[ a+1/n, b-1/n \right] } \). Podemos concluir a igualdade dada pela equação acima.

Finalmente, vamos mostrar que qualquer \(\sigma\)-álgebra contendo todos intervalos fechados também contém todos intervalos abertos. Considere a \(\sigma\)-álgebra \(\mathcal{F}\), \(\Omega = \mathbb{R}\), contendo todos intervalos fechados \([a,b]=\left\{x \in \mathbb{R} : a \leq x \leq b\right\}\), ou seja, \(A = \left\{ [a,b] : a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}, a < b\right\} \subseteq \mathcal{F}\), e tome a sequência de conjuntos \(\left( A_n \right) = \left[ a+1/n, b-1/n \right] \in \mathcal{F}\). Sabemos que \(\bigcup_{n=1}^{\infty}{ A_n } \in \mathcal{F}\) pela própria definição de \(\sigma\)-álgebra, conforme mostrado na definição 2.1, item (iii), da p. 6 do Bartle. Logo, \(\bigcup_{n=1}^{\infty}{ A_n } = \bigcup_{n=1}^{\infty}{ \left[ a+1/n, b-1/n \right] } = (a,b) \in \mathcal{F} \). Como \(a, b\) são arbitrários, concluimos que a \(\sigma\)-álgebra \(\mathcal{F}\) contém todos os intervalos abertos.

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