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Como saber se uma matriz é positiva definida ou negativa definida?

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respondida Jan 22, 2016 por danielcajueiro (5,376 pontos)  

Matrizes positivas e negativas definidas possuem muitas características interessantes. Vou considerar aqui apenas o teste mais popular (outros podem sugerir outros testes).

Seja \(A\) uma matriz de ordem \(n\times n\) simétrica e \(A_{kk}\) a submatriz principal de \(A\) de ordem \(k\):

\[A_{kk}=\left[\begin{array}{cccc} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k}\\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k}\\ ... a_{k1} & a_{k2} & \cdots & a_{kk}\\ \end{array}\right]\]

Uma matriz é dita positiva definida se os determinantes das \(n\) submatrizes principais de \(A\) são positivos, isto é, \(|A_{kk}|>0, \forall 1\le k\le n\).

Um exemplo trivial de uma matriz positiva definida é a matriz identidade.

Uma matriz é dita negativa definida se os determinantes das \(n\) submatrizes principais de \(A\) alternarem de sinal com o primeiro negativo, isto é, \((-1)^k|A_{kk}|>0, \forall 1\le k\le n\).

Um exemplo trivial de uma matriz negativa definida é a matriz identidade negativa, isto é, \(-I\).

A prova desses resultados podem ser encontrada no livro Special matrices and their applications in numerical mathematics - Miroslav Fiedler.

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