A forma mais comum de resolver é montando o lagrangeano.
1) Monte o lagrangeano.
\[L(\lambda_1,\cdots,\lambda_m,x)=f(x)+\sum_{j=1}^m g_j(x)\]
2) Derive em relação a todas as variáveis \(x_1,\cdots,x_n\) e \(\lambda_1,\cdots,\lambda_m\).
3) Iguale a zero todas as derivadas o ítem anterior (as derivadas em relação aos \(\lambda_j\)s recuperarão as restrições)
4) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.
5) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.
O hessiano orlado é escrito da seguinte forma:
\[A=\left[\begin{array}{cc}
\frac{\partial L^2}{\partial \lambda \partial \lambda} & \frac{\partial L^2}{\partial \lambda \partial x}\\
\frac{\partial L^2}{\partial x \partial \lambda} & \frac{\partial L^2}{\partial x^2}\\
\end{array}\right]\]
Note que a derivada \(\frac{\partial L^2}{\partial \lambda \partial \lambda}\) é uma matriz de ordem \(m\times m\) nula.
6) Checar se os pontos são máximos ou mínimos
Seja \(m\) o número de restrições e \(n\) o número de variáveis. Estamos interessados nos últimos \(n-m\) determinantes dos menores principais do hessiano orlado.
Se todos eles tem o mesmo sinal que são iguais a \((-1)^m\) então o ponto crítico é ponto de mínimo.
Se esses determinantes alternam de sinal com o primeiro sinal igual a \((-1)^n\) então o ponto crítico é ponto de máximo.
Um exemplo desse procedimento pode ser encontrado aqui.
A prova desses resultados pode ser encontrado no livro A. Izmailov e M. Solodov. Otimização - Volume 1, 2005.