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Como achar os pontos extremos de \(f(x_1,x_2)=2x_{1}^{2}-x_{2}^{2}-4x_1 +8x_2\).

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perguntada Jan 22, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,761 pontos)  

Teste se esse ponto é máximo ou mínimo ou sela.

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1 Resposta

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respondida Jan 22, 2016 por danielcajueiro (5,761 pontos)  

Vou seguir o procedimento apresentado nessa resposta.

1) Derive a função em relação a todas as coordenadas:

\(\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1}=4x_1-4\), \(\frac{\partial f}{\partial x_2}=-2x_2+8\)

2) Iguale a zero as derivadas:

\(\frac{\partial f(x_1,x_2)}{\partial x_1}=4x_1-4=0\), \(\frac{\partial f}{\partial x_2}=-2x_2+8=0\)

3) Encontre as soluções do sistema de equações:

\(x_1=1\) e \(x_2=4\).

4) Calcule a matriz de segundas derivadas da função:

\[H=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\left[\begin{array}{cc} 4 & 0 \\ 0 & -2\end{array} \right]\]

5) Substitua cada ponto encontrado no ítem (3) na matriz hessiana encontrada em (4) e teste para cada caso se a matriz é positiva definida, negativa definida ou indefinida.

Note que

\(|H_1|=4\)

\[|H_2|=\left|\begin{array}{cc} 4 & 0 \\ 0 & -2\\\end{array} \right|=-8\]

Logo, a matriz nem é positiva nem negativa definida implicando que o único ponto crítico da função é ponto de sela.

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