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Ache os pontos extremos de \(f(x,y)=2xy\) sujeito a \(2-x^2-y^2=0\). Teste apenas se o ponto extremo positivo \((x>0,y>0)\) é ponto de máximo ou mínimo.

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perguntada Jan 22, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,356 pontos)  
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respondida Jan 22, 2016 por danielcajueiro (5,356 pontos)  

Vamos seguir o procedimento considerado aqui.

1) Monte o lagrangeano:

\[L(\lambda,x,y)=2xy+\lambda (2-x^2-y^2)\]

2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:

\[\frac{\partial L}{\partial x}=2y+\lambda (-2x)=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial y}=2x +\lambda (-2y)=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=(2-x^2-y^2)=0\]

3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.

Das equações acima, temos que

\[y=\lambda x\]

\[x=\lambda y\]

Dividindo uma pela outra temos que

\[x^2=y^2\]

Finalmente, usando a equação relacionada com a restrição temos as seguintes soluções \((x,y,\lambda)\):

\((1,1,1)\), \((1,-1,-1)\), \((-1,1,-1)\), \((-1,-1,1)\).

4) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.

\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -2x & -2y\\ -2x & -2\lambda & 2 \\ -2y & 2 & -2\lambda \end{array} \right]\]

6) Checar se os pontos são máximos ou mínimos

Como \((n-m)=1\), estamos interessados apenas no determinante de \(H_o\). A questão pede para testarmos apenas o ponto positivo, mas podemos fazer um programinha em Python para calcular esses desterminantes:

import numpy as np

def calcDetH(x,y,lamb):
    H = np.array([[0, -2*x,-2*y], [-2*x,-2*lamb,2],[-2*y,2,-2*lamb]])
    print np.linalg.det(H)

if __name__ == '__main__':

    calcDetH(1,1,1)
    calcDetH(1,-1,-1)    
    calcDetH(-1,1,-1)
    calcDetH(-1,-1,1)     

Usando esse programa, encontramos que

\(H_o(1,1,1)=32\) e \(H_o(-1,-1,1)=32\). Logo, esse pontos são máximos locais.
\(H_o(-1,1,-1)=32\) e \(H_o(1,1,-1)=32\). Logo, esse pontos são mínimos locais.

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