Vamos seguir o procedimento considerado aqui.
1) Monte o lagrangeano:
\[L(\lambda,x,y)=2xy+\lambda (2-x^2-y^2)\]
2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:
\[\frac{\partial L}{\partial x}=2y+\lambda (-2x)=0\]
\[\frac{\partial L}{\partial y}=2x +\lambda (-2y)=0\]
\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=(2-x^2-y^2)=0\]
3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.
Das equações acima, temos que
\[y=\lambda x\]
\[x=\lambda y\]
Dividindo uma pela outra temos que
\[x^2=y^2\]
Finalmente, usando a equação relacionada com a restrição temos as seguintes soluções \((x,y,\lambda)\):
\((1,1,1)\), \((1,-1,-1)\), \((-1,1,-1)\), \((-1,-1,1)\).
4) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.
\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -2x & -2y\\ -2x & -2\lambda & 2 \\ -2y & 2 & -2\lambda \end{array} \right]\]
6) Checar se os pontos são máximos ou mínimos
Como \((n-m)=1\), estamos interessados apenas no determinante de \(H_o\). A questão pede para testarmos apenas o ponto positivo, mas podemos fazer um programinha em Python para calcular esses desterminantes:
import numpy as np
def calcDetH(x,y,lamb):
H = np.array([[0, -2*x,-2*y], [-2*x,-2*lamb,2],[-2*y,2,-2*lamb]])
print np.linalg.det(H)
if __name__ == '__main__':
calcDetH(1,1,1)
calcDetH(1,-1,-1)
calcDetH(-1,1,-1)
calcDetH(-1,-1,1)
Usando esse programa, encontramos que
\(H_o(1,1,1)=32\) e \(H_o(-1,-1,1)=32\). Logo, esse pontos são máximos locais.
\(H_o(-1,1,-1)=32\) e \(H_o(1,1,-1)=32\). Logo, esse pontos são mínimos locais.