Vamos seguir o procedimento considerado aqui.
1) Monte o lagrangeano:
\[L(\lambda,x,y)=2ln x + 2ln y+\lambda (2-x^2-y^2)\]
2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:
\[\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{2}{x}-2\lambda x=0\]
\[\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{2}{y} -2\lambda y=0\]
\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=(2-x^2-y^2)=0\]
3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.
Das equações acima, temos que
\[x^2=\frac{1}{\lambda}\]
\[y^2=\frac{1}{\lambda}\]
Finalmente, usando a equação relacionada com a restrição temos a seguinte solução \((x,y,\lambda)\)=(1,1,1)\). Note que as outras soluções onde \(x\) ou \(y\) é negativo, não satisfazem o domínio de \(f\).
4) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.
\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -2x & -2y\\ -2x & -\frac{2}{x^2}-2\lambda & 0 \\ -2y & 0 & -\frac{2}{y^2}-2\lambda \end{array} \right]\]
6) Checar se o ponto crítico é máximo ou mínimo.
Como \((n-m)=1\), estamos interessados apenas no determinante de \(H_o=32\) para a solução \((1,1,1)\), que tem o mesmo sinal de \((-1)^n\). Logo, o ponto crítico é ponto de máximo.