Primeira vez aqui? Seja bem vindo e cheque o FAQ!
x

Considere o problema de otimizar \(f(x,y)=2\ln x +2\ln y\) sujeito a \(x^2+y^2=2\). Encontre os pontos críticos e caracterize esses pontos.

0 votos
254 visitas
perguntada Jan 22, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,666 pontos)  
Compartilhe

1 Resposta

0 votos
respondida Jan 22, 2016 por danielcajueiro (5,666 pontos)  

Vamos seguir o procedimento considerado aqui.

1) Monte o lagrangeano:

\[L(\lambda,x,y)=2ln x + 2ln y+\lambda (2-x^2-y^2)\]

2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:

\[\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{2}{x}-2\lambda x=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{2}{y} -2\lambda y=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=(2-x^2-y^2)=0\]

3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.

Das equações acima, temos que

\[x^2=\frac{1}{\lambda}\]

\[y^2=\frac{1}{\lambda}\]

Finalmente, usando a equação relacionada com a restrição temos a seguinte solução \((x,y,\lambda)\)=(1,1,1)\). Note que as outras soluções onde \(x\) ou \(y\) é negativo, não satisfazem o domínio de \(f\).

4) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.

\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -2x & -2y\\ -2x & -\frac{2}{x^2}-2\lambda & 0 \\ -2y & 0 & -\frac{2}{y^2}-2\lambda \end{array} \right]\]

6) Checar se o ponto crítico é máximo ou mínimo.

Como \((n-m)=1\), estamos interessados apenas no determinante de \(H_o=32\) para a solução \((1,1,1)\), que tem o mesmo sinal de \((-1)^n\). Logo, o ponto crítico é ponto de máximo.

comentou Jun 18, 2018 por Gabriel de Sena Lima (1 ponto)  
professor, em (n-m) eu sei que ´´m`` é o posto, mas o  ´´n`` é o que?
comentou Jun 19, 2018 por danielcajueiro (5,666 pontos)  
Note no link no inicio da resposta que n é o número de variáveis e m o número de restriçoes.
...