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Verifique se o ponto crítico de \(f(x,y)=4x^2 -2xy +6y^2\) sujeito a \(x+y=72\) é máximo ou mínimo, utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange e o Hessiano orlado?

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perguntada Jan 22, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,736 pontos)  
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respondida Jan 22, 2016 por danielcajueiro (5,736 pontos)  

Vamos seguir o procedimento considerado aqui.

1) Monte o lagrangeano:

\[L(\lambda,x,y)=4x^2 -2xy +6y^2 + \lambda (72-x-y)\]

2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:

\[\frac{\partial L}{\partial x}=8x-2y-\lambda=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial y}=-2x+12y -\lambda=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=72-x-y=0\]

3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.

Note que é um sistema linear que pode ser resolvido por vários métodos. Um bem simples é eliminar \(\lambda\) nas duas primeiras equações e usuar a terceira equação para achar

\(x=42,\; y=30, \; \lambda=276\).

4) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.

\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -1 & -1\\ -1 & 8 & -2 \\ -1 & -2 & 12 \end{array} \right]\]

5) Checar se o ponto crítico é máximo ou mínimo.

Como \((n-m)=1\), estamos interessados apenas no determinante de \(H_o=-24\), que tem o mesmo sinal de \((-1)^m\). Logo, o ponto crítico é ponto de mínimo.

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