Vamos seguir o procedimento considerado aqui.
1) Monte o lagrangeano:
\[L(\lambda,x,y)=4x^2 -2xy +6y^2 + \lambda (72-x-y)\]
2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:
\[\frac{\partial L}{\partial x}=8x-2y-\lambda=0\]
\[\frac{\partial L}{\partial y}=-2x+12y -\lambda=0\]
\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=72-x-y=0\]
3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.
Note que é um sistema linear que pode ser resolvido por vários métodos. Um bem simples é eliminar \(\lambda\) nas duas primeiras equações e usuar a terceira equação para achar
\(x=42,\; y=30, \; \lambda=276\).
4) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.
\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -1 & -1\\ -1 & 8 & -2 \\ -1 & -2 & 12 \end{array} \right]\]
5) Checar se o ponto crítico é máximo ou mínimo.
Como \((n-m)=1\), estamos interessados apenas no determinante de \(H_o=-24\), que tem o mesmo sinal de \((-1)^m\). Logo, o ponto crítico é ponto de mínimo.