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Considere função \(f(x,y)=4x + 2y -8\) restrita à \((x - 2)^2 + (y-1)^2 =80\). Encontre os pontos críticos e caracterize esses pontos.

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perguntada Jan 22, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,666 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Jan 23, 2016 por danielcajueiro (5,666 pontos)  

Vamos seguir o procedimento considerado aqui.

1) Monte o lagrangeano:

\[L(\lambda,x,y)=4x + 2y -8 + \lambda [(x-2)^2 + (y-1)^2-80]\]

2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:

\[\frac{\partial L}{\partial x}=4+2\lambda (x-2)=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial y}=2+2\lambda(y-1)=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=(x-2)^2 + (y-1)^2-80=0\]

3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.

As primeira e segunda equações implicam que \((x-2)=-\frac{2}{\lambda}\) e \((y-1)=-\frac{1}{\lambda}\)

Usando a terceira equação temos que

\[\left(\frac{2}{\lambda}\right)^2 + \left(\frac{1}{\lambda}\right)^2=80\]

Logo, concluímos que \(\lambda=\pm \frac{1}{4}\).

Finalmente, chegamos as duas soluções:

\[(\lambda,x,y)=(1/4,-6,-3)\]

\[(\lambda,x,y)=(-1/4,10,5)\]

4) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.

\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 2x-4 & 2y-2\\ 2x-4 & 2\lambda & 0 \\ 2y-2 & 0 & 2\lambda \end{array} \right]\]

5) Checar se o ponto crítico é máximo ou mínimo.

Como \((n-m)=1\), estamos interessados apenas no determinante de \(H_o\) nos dois pontos.

No ponto \((\lambda,x,y)=(1/4,-6,-3)\), ele vale -160, que tem o mesmo sinal de \((-1)^m\). Logo, o ponto crítico é ponto de mínimo.

No ponto \((\lambda,x,y)=(-1/4,10,5)\), ele vale 160, que tem o mesmo sinal de \((-1)^n\). Logo, o ponto crítico é ponto de máximo.

comentou Nov 20, 2016 por Davi Leal (1 ponto)  
É sempre indiferente somar ou subtrair o λ na formula do Lagrangeano? Pq eu fiz subtraindo (vc fez somando) e achei os seguintes pontos (1/4, 10, 5) e (-1/4,-6,-3). E tirando o determinante desses pontos, para (1/4, 10, 5) o det deu -160(Logo ponto mínimo) e para (-1/4, -6, -3) o det deu 160 (Ponto máximo). O que, no caso, alternou os meus pontos maximos e minimos dos seus.
comentou Nov 21, 2016 por danielcajueiro (5,666 pontos)  
Vc errou alguma conta!
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