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Ache os pontos críticos de \(f(x,y)=3x^3 + 1.5 y^2 -18xy +17\). Teste se esses pontos são máximo ou mínimo ou sela (ou se você não pode afirmar nada sobre ele utilizando a análise usual).

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perguntada Jan 23, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,761 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Jan 23, 2016 por danielcajueiro (5,761 pontos)  

Vou seguir o procedimento apresentado nessa resposta.

1) Derive a função em relação a todas as coordenadas e iguale essas derivadas a zero:

\(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=9x^2 -18 y=0\), \(\frac{\partial f}{\partial y}=3y-18x=0\)

2) Encontre as soluções do sistema de equações:

Substituindo \(y=6x) na primeira equação, nós chegamos a duas soluções

\(0,0)\) e \((12,72)\).

3) Calcule a matriz de segundas derivadas da função:

\[H=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\left[\begin{array}{cc} 18x & -18 \\ -18 & 3\end{array} \right]\]

4) Substitua cada ponto encontrado no ítem (2) na matriz hessiana encontrada em (3) e teste para cada caso se a matriz é positiva definida, negativa definida ou indefinida.

\[H_{(0,0)}=\left[\begin{array}{cc} 0 & -18 \\ -18 & 3\end{array} \right]\]

com

\(|H_1|=0\)

\(|H_2|=-364\)

que é um ponto de sela.

\[H_{(12,72)}=\left[\begin{array}{cc} 216 & -18 \\ -18 & 3\end{array} \right]\]

\(|H_1|=216\)

\(|H_2|=324\)

que é um ponto de mínimo.

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