Vamos seguir o procedimento considerado aqui.
1) Monte o lagrangeano:
\[L(\lambda,x,y)=\frac{x^2}{2} + y + \lambda [x+y-9]\]
2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:
\[\frac{\partial L}{\partial x}=x+\lambda=0\]
\[\frac{\partial L}{\partial y}=1+\lambda=0\]
\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x+y-9=0\]
3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.
O sistema de equações acima é linear e pode ser trivialmente resolvido por substituição para encontrarmos a solução:
\[(\lambda,x,y)=(-1,1,8)\]
4) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.
\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right]\]
5) Checar se o ponto crítico é máximo ou mínimo.
Como \((n-m)=1\), estamos interessados apenas no determinante de \(H_o\).
Como \(|H_o|=-1\) que tem o mesmo sinal de \((-1)^m\) então esse é um ponto de mínimo.