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Verifique se o ponto crítico de \(f(x,y)=\frac{x^2}{2}+ y\) sujeito a \(x+y=9\) é máximo ou mínimo, utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange e o Hessiano orlado

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perguntada Jan 23, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,666 pontos)  
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respondida Jan 23, 2016 por danielcajueiro (5,666 pontos)  

Vamos seguir o procedimento considerado aqui.

1) Monte o lagrangeano:

\[L(\lambda,x,y)=\frac{x^2}{2} + y + \lambda [x+y-9]\]

2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:

\[\frac{\partial L}{\partial x}=x+\lambda=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial y}=1+\lambda=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x+y-9=0\]

3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.

O sistema de equações acima é linear e pode ser trivialmente resolvido por substituição para encontrarmos a solução:

\[(\lambda,x,y)=(-1,1,8)\]

4) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.

\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \end{array} \right]\]

5) Checar se o ponto crítico é máximo ou mínimo.

Como \((n-m)=1\), estamos interessados apenas no determinante de \(H_o\).

Como \(|H_o|=-1\) que tem o mesmo sinal de \((-1)^m\) então esse é um ponto de mínimo.

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