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Ache o ponto extremo de \(f(x,y)=8x^3 + 2 xy -3 x^2 + y^2 +1\). Teste se esse ponto é máximo ou mínimo ou sela, usando as condições de segunda ordem e propriedades das formas quadráticas.

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perguntada Jan 23, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,251 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Jan 23, 2016 por danielcajueiro (5,251 pontos)  

Vou seguir o procedimento apresentado nessa resposta.

1) Derive a função em relação a todas as coordenadas e iguale essas derivadas a zero:

\(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=24x^2 + 2y-6x=0\), \(\frac{\partial f}{\partial y}=2x+2y=0\)

2) Encontre as soluções do sistema de equações:

Da segunda equação temos que \(y=-x\). Substituindo esse resultado na primeira equação chegamos a essas duas soluções:

\(0,0)\) e \((1/3,-1/3)\).

3) Calcule a matriz de segundas derivadas da função:

\[H=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\left[\begin{array}{cc} 48x-6 & 2 \\ 2 & 2\end{array} \right]\]

4) Substitua cada ponto encontrado no ítem (2) na matriz hessiana encontrada em (3) e teste para cada caso se a matriz é positiva definida, negativa definida ou indefinida.

\[H_{(0,0)}=\left[\begin{array}{cc} -6 & 2 \\ 2 & 2\end{array} \right]\]

com

\(|H_1|=-6\)

\(|H_2|=-16\)

que é um ponto de sela.

\[H_{(1/3,-1/3)}=\left[\begin{array}{cc} 10 & 2 \\ 2 & 2\end{array} \right]\]

\(|H_1|=10\)

\(|H_2|=16\)

que é um ponto de mínimo.

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