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Ache todos os pontos extremos de \(f(x,y)=xy\) sujeito a \(x+y=6\). Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange e teste se o(s) ponto(s) são máximo ou mínimo utilizando o Hessiano orlado.

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perguntada Jan 23, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,326 pontos)  
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respondida Jan 23, 2016 por danielcajueiro (5,326 pontos)  

Vamos seguir o procedimento considerado aqui.

1) Monte o lagrangeano:

\[L(\lambda,x,y)=xy + \lambda (x+y-6)\]

2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:

\[\frac{\partial L}{\partial x}=y+\lambda=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial y}=x+\lambda=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x+y-6=0\]

3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.

Note que é um sistema linear que pode ser trivialmente resolvido para chegar na solução

\(x=3,\; y=3, \; \lambda=-3\).

4) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.

\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 &0 & 1 \\ 1 & 1 & 0 \end{array} \right]\]

5) Checar se o ponto crítico é máximo ou mínimo.

Como \((n-m)=1\), estamos interessados apenas no determinante de \(H_o=2\), que tem o mesmo sinal de \((-1)^n\). Logo, o ponto crítico é ponto de máximo.

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