Vamos seguir o procedimento considerado aqui.
1) Monte o lagrangeano:
\[L(\lambda,x,y)= +5-(x-2)^2-2(y-1)^2 +\lambda (x+4y-3)\]
2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:
\[\frac{\partial L}{\partial x}=-2(x-2)+\lambda=0\]
\[\frac{\partial L}{\partial y}=-4(y-1)+4\lambda=0\]
\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x+4y-3=0\]
3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.
Note que é um sistema linear que pode ser trivialmente resolvido para encontrar
\(x=5/3,\; y=1/3, \; \lambda=-2/3\).
4) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.
\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 4\\ 1 & -2 & 0 \\ 4 & 0 & -4 \end{array} \right]\]
5) Checar se o ponto crítico é máximo ou mínimo.
Como \((n-m)=1\), estamos interessados apenas no determinante de \(H_o=36\), que tem o mesmo sinal de \((-1)^n\). Logo, o ponto crítico é ponto de máximo.