Question

Considere o problema de otimizar \(f(x,y)=5-(x-2)^2-2(y-1)^2\) sujeito a \(x+4y=3\). Encontre os pontos críticos e caracterize esses pontos. Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange e o método do hessiano orlado.

Answer 1

Vamos seguir o procedimento considerado aqui.

1) Monte o lagrangeano:

\[L(\lambda,x,y)= +5-(x-2)^2-2(y-1)^2 +\lambda (x+4y-3)\]

2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:

\[\frac{\partial L}{\partial x}=-2(x-2)+\lambda=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial y}=-4(y-1)+4\lambda=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x+4y-3=0\]

3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.

Note que é um sistema linear que pode ser trivialmente resolvido para encontrar

\(x=5/3,\; y=1/3, \; \lambda=-2/3\).

4) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.

\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 4\\ 1 & -2 & 0 \\ 4 & 0 & -4 \end{array} \right]\]

5) Checar se o ponto crítico é máximo ou mínimo.

Como \((n-m)=1\), estamos interessados apenas no determinante de \(H_o=36\), que tem o mesmo sinal de \((-1)^n\). Logo, o ponto crítico é ponto de máximo.

Comments

Professor, o senhor multiplicou a função por lamb(x+4y-3), quando deveria somar ou subtrair, nesse caso somar para ficar consistente com a resolução.

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Corrigido, obrigado!