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Considere o problema de otimizar \(f(x,y)=x^{1/3}y^{2/3}\) sujeito a \(27x+2y=81\). Encontre os pontos críticos e caracterize esses pontos. Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange e o método do hessiano orlado.

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perguntada Jan 23, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,356 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Jan 23, 2016 por danielcajueiro (5,356 pontos)  

Vamos seguir o procedimento considerado aqui.

1) Monte o lagrangeano:

\[L(\lambda,x,y)= x^{1/3}y^{2/3}- \lambda (27x+2y-81)\]

2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:

\[\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{1}{3} x^{-2/3}y^{2/3}-27\lambda=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{2}{3} x^{1/3}y^{-1/3}-2\lambda=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=-(27x+2y-81)=0\]

3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.

Dividindo a primeira equação pela segunda chegamos a \(y=27x\). Substituindo esse resultado na equação da restrição, concluímos que

\(x=1,\; y=27, \; \lambda=1/9\).

4) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.

\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -27 & -2\\ -27 & -\frac{2}{9}x^{-5/3}y^{2/3} & \frac{2}{9}x^{-2/3}y^{-1/3} \\ -2 & \frac{2}{9}x^{-2/3}y^{-1/3} & -\frac{2}{9}x^{1/3}y^{-4/3} \end{array} \right]\]

que no ponto de interesse vale

\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -27 & -2\\ -27 & -2 & 2/27 \\ -2 & 2/27 & -2/729 \end{array} \right]\]

5) Checar se o ponto crítico é máximo ou mínimo.

Como \((n-m)=1\), estamos interessados apenas no determinante de \(|H_o|=18\), que tem o mesmo sinal de \((-1)^n\). Logo, o ponto crítico é ponto de máximo.

comentou Nov 20, 2016 por 2º semestre 2016 (16 pontos)  
republicada Nov 20, 2016 por 2º semestre 2016
Professor, por que o sinal do lagrangiano tá positivo e na derivada negativo? Outra coisa, essa alteração muda o ponto crítico?
comentou Nov 21, 2016 por Davi Leal (1 ponto)  
Eu também estranhei isso. Fiz aqui somando e o ponto crítico foi diferente. x=-3 e y=-81
comentou Nov 21, 2016 por danielcajueiro (5,356 pontos)  
Obrigado, acho que agora está ok!
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