Vamos seguir o procedimento considerado aqui.
1) Monte o lagrangeano:
\[L(\lambda,x,y)= x^{1/3}y^{2/3}- \lambda (27x+2y-81)\]
2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:
\[\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{1}{3} x^{-2/3}y^{2/3}-27\lambda=0\]
\[\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{2}{3} x^{1/3}y^{-1/3}-2\lambda=0\]
\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=-(27x+2y-81)=0\]
3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.
Dividindo a primeira equação pela segunda chegamos a \(y=27x\). Substituindo esse resultado na equação da restrição, concluímos que
\(x=1,\; y=27, \; \lambda=1/9\).
4) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.
\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -27 & -2\\ -27 & -\frac{2}{9}x^{-5/3}y^{2/3} & \frac{2}{9}x^{-2/3}y^{-1/3} \\ -2 & \frac{2}{9}x^{-2/3}y^{-1/3} & -\frac{2}{9}x^{1/3}y^{-4/3} \end{array} \right]\]
que no ponto de interesse vale
\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & -27 & -2\\ -27 & -2 & 2/27 \\ -2 & 2/27 & -2/729 \end{array} \right]\]
5) Checar se o ponto crítico é máximo ou mínimo.
Como \((n-m)=1\), estamos interessados apenas no determinante de \(|H_o|=18\), que tem o mesmo sinal de \((-1)^n\). Logo, o ponto crítico é ponto de máximo.