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Ache os pontos críticos de \(f(x_1,x_2)=x^3+y^3-3xy\). Teste se esses pontos são pontos de máximo ou mínimo ou sela.

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perguntada Jan 24, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,326 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Jan 24, 2016 por danielcajueiro (5,326 pontos)  

Vou seguir o procedimento apresentado nessa resposta.

1) Derive a função em relação a todas as coordenadas e iguale essas derivadas a zero:

\(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=3x^2 -3 y=0\), \(\frac{\partial f}{\partial y}=3y^2-3x=0\)

2) Encontre as soluções do sistema de equações:

Note que as duas equações acima implicam que \(x^4=y\) e \(y^2=x\), que por sua vez implicam que \(x^4=x\).

Resolvendo essa equação chegamos a \(x=0\) e \(x=1\).

Portanto, o sistema de equações possui duas soluções \((x,y)=(0,0)\) e \((x,y)=(1,1)\).

3) Calcule a matriz de segundas derivadas da função:

\[H=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\left[\begin{array}{cc} 6x & -3 \\ -3 & 6x\end{array} \right]\]

4) Substitua cada ponto encontrado no ítem (2) na matriz hessiana encontrada em (3) e teste para cada caso se a matriz é positiva definida, negativa definida ou indefinida.

\[H_{(0,0)}=\left[\begin{array}{cc} 0 & -3 \\ -3 & 0\end{array} \right]\]

com

\(|H_1|=0\)

\(|H_2|=-9\)

Logo, a matriz é indefinida e esse ponto é um ponto de sela.

\[H_{(1,1)}=\left[\begin{array}{cc} 6 & -3 \\ -3 & 6\end{array} \right]\]

\(|H_1|=6\)

\(|H_2|=27\)

que é um ponto de mínimo.

comentou Ago 10, 2017 por Gustavo Fleury (1 ponto)  
Professor, o fato da matriz hessiana para o ponto (0,0) ser indefinida é suficiente para dizer que o ponto é sela? O enunciado pede pra dizermos se é máximo, mínimo ou sela. Obrigado
comentou Ago 11, 2017 por danielcajueiro (5,326 pontos)  
A matriz não é indefinida. Se fosse indefinida, vc poderia dizer que é um ponto de sela.
comentou Ago 13, 2017 por Gustavo Fleury (1 ponto)  
Professor, ainda não ficou claro por que a matriz H(0,0) não é indefinida. O fato de de det(H2)<0 não a torna indefinida? Ela nao se enquadra nem no criterio de det(Hk)>0 para todo k, nem de det(Hk) com sinais alternados sendo det(H1)<0, certo?

No livro do Simon, pg 392, ex. 16.3, letra (e), há um exemplo com det(A1)=0, e det(A2)<0, e a matriz é indefinida por causa de A2. Qual seria a diferença para esse caso?

Obrigado.
comentou Ago 13, 2017 por danielcajueiro (5,326 pontos)  
Desculpe, vc tem razao. Vou consertar a resposta. Cometi o erro na primeira solucao e quando vc mencionou eu nao percebi. Sim! Indefinida. Correcao chegando. Obrigado.
comentou Ago 13, 2017 por danielcajueiro (5,326 pontos)  
Gustavo, acho que agora está ok! Obrigado :-)
comentou Ago 14, 2017 por Gustavo Fleury (1 ponto)  
Legal, obrigado!
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