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Ache todos os pontos críticos de \(f(x,y)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\) sujeito a \(x+y=2\). Teste se os ponto críticos são máximo ou mínimo utilizando o método dos multiplicadores de Lagrange e o Hessiano orlado.

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respondida Jan 24, 2016 por danielcajueiro (5,376 pontos)  

Ache todos os pontos críticos de \(f(x,y)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}\) sujeito a
\(x+y=2\). Teste se os ponto críticos são máximo ou mínimo utilizando o método
dos multiplicadores de Lagrange e o Hessiano orlado.

Vamos seguir o procedimento considerado aqui.

1) Monte o lagrangeano:

\[L(\lambda,x,y)=\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\lambda (2-x-y)\]

2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:

\[\frac{\partial L}{\partial x}=-\frac{1}{x^2}-\lambda=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial y}=-\frac{1}{y^2}-\lambda=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=(2-x-y)=0\]

3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.

Dividindo a primeira equação pela segunda temos que \(x^2=y^2\).

Usando a terceira condição de primeira ordem, temos que \(x=2-y\) que substituindo nessa equação acima, concluímos que \(y=1\) e, consequentemente, \(x=1\).

4) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.

\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 &- 1 & -1\\ -1 & 2/x^3 & 0 \\ -1 & 0 & 2/y^3 \end{array} \right]\]

5) Checar se os pontos são máximos ou mínimos

Como \((n-m)=1\), estamos interessados apenas no determinante de \(H_o\) no ponto \((1,1)\) que é \(|H_o(1,1)|=-4\). Logo, esse ponto é mínimo local, pois tem o mesmo sinal de \((-1)^m\).

comentou Nov 18, 2016 por 2º semestre 2016 (16 pontos)  
Quando usar o sinal de (-) e quando usar o sinal de (+) antes de λ no lagrangeano?
comentou Nov 22, 2016 por Nicolas (1 ponto)  
Professor essa matriz está correta? não seria 0 -1 -1 na primeira linha e a transposta da primeira coluna ?
comentou Nov 22, 2016 por danielcajueiro (5,376 pontos)  
Sim, vc está correto! Veja que corrigi!
comentou Nov 17, 2017 por Rebeca Yamada (1 ponto)  
Prof o Langrangeano não deveria ficar L(λ,x,y)=1x+1y+λ(x+y-2) para ficar igual à equação de restrição?
comentou Nov 18, 2017 por danielcajueiro (5,376 pontos)  
Lembre que a restrição é \(x+y-2=0\) que é o mesmo que \(2-x-y=0\).
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