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Ache os pontos críticos de \(f(x,y)=x^2 + y^2 -2\log(x) -18\log(y)\) e teste se cada um desses pontos é máximo ou mínimo ou sela, usando as condições de segunda ordem e propriedades das formas quadráticas.

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perguntada Jan 24, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,376 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Jan 24, 2016 por danielcajueiro (5,376 pontos)  

Vou seguir o procedimento apresentado nessa resposta.

1) Derive a função em relação a todas as coordenadas e iguale essas derivadas a zero:

\(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=2x-\frac{2}{x}=0\), \(\frac{\partial f}{\partial y}=2y - \frac{18}{y}=0\)

2) Encontre as soluções do sistema de equações:

É trivial perceber que a solução do sistema acima é \((x,y)=(1,3)\). Note que soluções negativas não satisfazem ao domínio da função \(\log\).

3) Calcule a matriz de segundas derivadas da função:

\[H=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\left[\begin{array}{cc} 2+\frac{2}{x^2} & 0 \\ 0 & 2+\frac{18}{y^2}\end{array} \right]\]

4) Substitua o ponto encontrado no ítem (2) na matriz hessiana encontrada em (3) e teste para cada caso se a matriz é positiva definida, negativa definida ou indefinida.

\[H_{(1,3)}=\left[\begin{array}{cc} 4 & 0 \\ 0 & 4\end{array} \right]\]

com

\(|H_1|=4\)

\(|H_2|=16\)

que é um ponto de mínimo.

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