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Ache todos os pontos extremos de \(f(x,y)=x+y\) sujeito a \(x^2 + y^2=2\). Utilize o método dos multiplicadores de Lagrange e teste se o(s) ponto(s) são máximo ou mínimo utilizando o Hessiano orlado.

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perguntada Jan 24, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,376 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Jan 24, 2016 por danielcajueiro (5,376 pontos)  

Vamos seguir o procedimento considerado aqui.

1) Monte o lagrangeano:

\[L(\lambda,x,y)=x+y+\lambda (x^2+y^2-2)\]

2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:

\[\frac{\partial L}{\partial x}=1+2\lambda x=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial y}=1+2\lambda y=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=(x^2+y^2-2)=0\]

3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.

Das equações acima, temos que

\[x=-1/2\lambda\]

\[y=-1/2\lambda\]

Finalmente, usando a equação relacionada com a restrição temos as seguintes soluções \((x,y,\lambda)\):

\((-1,-1,1/2)\), \((1,1,-1/2)\).

4) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.

\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end{array} \right]\]

6) Checar se os pontos são máximos ou mínimos

Como \((n-m)=1\), estamos interessados apenas no determinante de \(H_o\):

\(|H_o|=-8\lambda (y^2 +x^2)\)

\(H_o(1,1,-1/2)=8\) é máximo local.
\(H_o(-1,-1,1/2)=-8\) é mínimo local.

comentou Jun 18, 2016 por Bruna Paggiaro (1 ponto)  
professor, não compreendi o final da questão.
Não seria o det de H(1,1,-1/2)= -8 e um mínimo local, enquanto det H(-1,-1,1/2)= 8 e um ponto de máximo?
comentou Jun 19, 2016 por danielcajueiro (5,376 pontos)  
Bruna, obrigado! Corrigido!
comentou Nov 26, 2017 por maria luiza (1 ponto)  
professor, não entendi como o senhor montou a matriz orlada, parece diferente da forma como você montou na questão 6.
comentou Nov 26, 2017 por danielcajueiro (5,376 pontos)  
Do mesmo jeito, faça as derivadas de segunda ordem e confira. Qual a diferença especifica que vc está encontrando? Algum problema de conta?
comentou Nov 27, 2017 por maria luiza (1 ponto)  
não entendi como o senhor encontrou o 2(lambida)
comentou Nov 27, 2017 por danielcajueiro (5,376 pontos)  
Substitua x e y em função de \(\lambda\) na equação da restrição!
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