Vamos seguir o procedimento considerado aqui.
1) Monte o lagrangeano:
\[L(\lambda,x,y)=x+y+\lambda (x^2+y^2-2)\]
2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:
\[\frac{\partial L}{\partial x}=1+2\lambda x=0\]
\[\frac{\partial L}{\partial y}=1+2\lambda y=0\]
\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=(x^2+y^2-2)=0\]
3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.
Das equações acima, temos que
\[x=-1/2\lambda\]
\[y=-1/2\lambda\]
Finalmente, usando a equação relacionada com a restrição temos as seguintes soluções \((x,y,\lambda)\):
\((-1,-1,1/2)\), \((1,1,-1/2)\).
4) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.
\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 2x & 2y\\ 2x & 2\lambda & 0 \\ 2y & 0 & 2\lambda \end{array} \right]\]
6) Checar se os pontos são máximos ou mínimos
Como \((n-m)=1\), estamos interessados apenas no determinante de \(H_o\):
\(|H_o|=-8\lambda (y^2 +x^2)\)
\(H_o(1,1,-1/2)=8\) é máximo local.
\(H_o(-1,-1,1/2)=-8\) é mínimo local.