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Seja \(f(x,y)=a log x + (1-a)log y\), onde \(a\ne 0\) e \(a\ne 1\). Considere o problema de de otimizar \(f\) sujeita a \(x+y=1\). Quais os valores de ``\(a\)'' que fazem com que \(f\) tenha ponto de máximo?

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perguntada Jan 24, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,376 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Jan 24, 2016 por danielcajueiro (5,376 pontos)  

Vamos seguir o procedimento considerado aqui para estabelecer as condições necessárias para que \(f\) tenha um ponto de máximo.

1) Monte o lagrangeano:

\[L(\lambda,x,y)=a log x + (1-a)log y + \lambda [x+y-1]\]

2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:

\[\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{a}{x}+\lambda=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{1-a}{y}+\lambda=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x+y-1=0\]

3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.

Escrevendo \(x\) e \(y\) em função de \(\lambda\) nas duas primeiras equações acima e substituindo esses valores na terceira equação encontramos que \(\lambda=-1\), \(x=a\) e \(y=1-a\).

4) Use o hessiano orlado para encontrar os valores de \(a\) que garantem que \(f\) tem máximo:

\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & -\frac{a}{x^2} & 0 \\ 1 & 0 & -\frac{(1-a)}{y^2} \end{array} \right]\]

Logo, \(|H_o|=\frac{a}{x^2} + \frac{1-a}{y^2}\). Para os valores de \(x=a\) e \(y=1-a\) temos

\(|H_o|_{x=a,y=1-a}=\frac{1}{a} + \frac{1}{1-a}\)

Precisamos que \(|H_o|>0\). Logo, \(0\lt a\lt 1\).

comentou Nov 19, 2016 por Davi Leal (1 ponto)  
Prof, Para o ponto ser máximo o Det de Ho tem q ser positivo, certo?
Na sua resposta, tu concluiu que "a" precisa estar entre 0 e 1( 0<a<1). Mas para qualquer "a" < -1 o Det de Ho será positivo. Estaria certo incluir isso? ou o "a" não pode ser negativo?
comentou Nov 19, 2016 por danielcajueiro (5,376 pontos)  
Não, vc deve ter errado contas. Veja o cálculo acima.
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