Vamos seguir o procedimento considerado aqui para estabelecer as condições necessárias para que \(f\) tenha um ponto de máximo.
1) Monte o lagrangeano:
\[L(\lambda,x,y)=a log x + (1-a)log y + \lambda [x+y-1]\]
2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:
\[\frac{\partial L}{\partial x}=\frac{a}{x}+\lambda=0\]
\[\frac{\partial L}{\partial y}=\frac{1-a}{y}+\lambda=0\]
\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=x+y-1=0\]
3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.
Escrevendo \(x\) e \(y\) em função de \(\lambda\) nas duas primeiras equações acima e substituindo esses valores na terceira equação encontramos que \(\lambda=-1\), \(x=a\) e \(y=1-a\).
4) Use o hessiano orlado para encontrar os valores de \(a\) que garantem que \(f\) tem máximo:
\[H_o=\left[\begin{array}{ccc} 0 & 1 & 1\\ 1 & -\frac{a}{x^2} & 0 \\ 1 & 0 & -\frac{(1-a)}{y^2} \end{array} \right]\]
Logo, \(|H_o|=\frac{a}{x^2} + \frac{1-a}{y^2}\). Para os valores de \(x=a\) e \(y=1-a\) temos
\(|H_o|_{x=a,y=1-a}=\frac{1}{a} + \frac{1}{1-a}\)
Precisamos que \(|H_o|>0\). Logo, \(0\lt a\lt 1\).