No \(\mathbb{R}^n\) um conjunto é compacto se, e somente se, ele é fechado (intuitivamente é um conjunto que possui todo o seu interior e também a sua fronteira) e limitado.
(1) Esse conjunto é um hipercubo do \(\mathbb{R}^n\). É compacto.
(2) Esse conjunto é a união de dois conjuntos fechados e limitados. Logo, ele também é fechado e limitado.
(3), (4), (5) Esse conjunto não é fechado. Poderíamos facilmente criar uma sequência convergente inteiramente contida no conjunto que converge para a fronteira que não pertence ao conjunto.
(6) Embora esse conjunto seja limitado, ele não é fechado pois é a união de dois conjuntos abertos.
(7) Esse conjunto é uma hiperesfera do \(\mathbb{R}^n\). No \(\mathbb{R}^2\) ele é uma circunferência adicionada de seu interior. Note que ele é limitado e fechado.
(8) Esse conjunto é muito parecido com o anterior. Ele é limitado, mas não é fechado, pois não possui a fronteira. Podemos facilmente construir uma sequência convergente inteiramente contida no conjunto que converge para a fronteira que não pertence ao conjunto.
(9) No \(\mathbb{R}^2\), esse conjunto é um triângulo retângulo com um vértice no ponto \((0,0)\) e os outros vértices nos pontos \((c/a_1,0)\) e \((0,c/a_2)\), que ficam respectivamente nos eixos \(x\) e \(y\). De fato, note que \(a_1 x_1 + a_2 x_2 = c\) é uma reta com inclinação negativa que corta os eixos \(x\) e \(y\) respectivamente nos pontos \((c/a_1,0)\) e \((0,c/a_2)\). Então o conjunto de pontos é formado por pontos \(x,y\) positivos que estão abaixo dessa reta, que dá justamente esse triangulo retângulo já mencionado.
Ele é fechado e limitado.
(10) e (11) São conjuntos fechados, mas não são limitados.
(12) É uma bola fechada com centro em zero. Logo, é fechado e limitado. Portanto, ele é compacto.