Quais desses conjuntos são compactos?

Question

1) \([0,1]^n\)

2) \([0,1]\cup [2,3]\)

3) \([0,1)^n\)

4) \((0,1]^n\)

5) \((0,1)^n\)

6) \((0,1) \cup (2,3)\)

7) \( (x_1,\cdots, x_n)\in \mathbb{R}^n\) tal que \(x_{1}^{2} + \cdots x_{n}^{2} \le 1\).

8) \( (x_1,\cdots, x_n)\in \mathbb{R}^n\) tal que \(x_{1}^{2} + \cdots x_{n}^{2} \lt 1\).

9) \( (x_1,\cdots, x_n)\in \mathbb{R}^n\) tal que \(x_i\ge 0,\; a_1 x_1+ \cdots + a_n x_n\le c\), onde \(a_i \ge 0\) e \(c \ge 0\) são constantes reais (escalares).

10) \(\mathbb{R}^n\)

11) \(\mathbb{R}_{+}^{n}\)

12) \(||x||\le 1\)

Answer 1

No \(\mathbb{R}^n\) um conjunto é compacto se, e somente se, ele é fechado (intuitivamente é um conjunto que possui todo o seu interior e também a sua fronteira) e limitado.

(1) Esse conjunto é um hipercubo do \(\mathbb{R}^n\). É compacto.

(2) Esse conjunto é a união de dois conjuntos fechados e limitados. Logo, ele também é fechado e limitado.

(3), (4), (5) Esse conjunto não é fechado. Poderíamos facilmente criar uma sequência convergente inteiramente contida no conjunto que converge para a fronteira que não pertence ao conjunto.

(6) Embora esse conjunto seja limitado, ele não é fechado pois é a união de dois conjuntos abertos.

(7) Esse conjunto é uma hiperesfera do \(\mathbb{R}^n\). No \(\mathbb{R}^2\) ele é uma circunferência adicionada de seu interior. Note que ele é limitado e fechado.

(8) Esse conjunto é muito parecido com o anterior. Ele é limitado, mas não é fechado, pois não possui a fronteira. Podemos facilmente construir uma sequência convergente inteiramente contida no conjunto que converge para a fronteira que não pertence ao conjunto.

(9) No \(\mathbb{R}^2\), esse conjunto é um triângulo retângulo com um vértice no ponto \((0,0)\) e os outros vértices nos pontos \((c/a_1,0)\) e \((0,c/a_2)\), que ficam respectivamente nos eixos \(x\) e \(y\). De fato, note que \(a_1 x_1 + a_2 x_2 = c\) é uma reta com inclinação negativa que corta os eixos \(x\) e \(y\) respectivamente nos pontos \((c/a_1,0)\) e \((0,c/a_2)\). Então o conjunto de pontos é formado por pontos \(x,y\) positivos que estão abaixo dessa reta, que dá justamente esse triangulo retângulo já mencionado.

Ele é fechado e limitado.

(10) e (11) São conjuntos fechados, mas não são limitados.

(12) É uma bola fechada com centro em zero. Logo, é fechado e limitado. Portanto, ele é compacto.

Comments

Professor, não entendi como na numero 9 você chegou nesse triangulo com esses vértices. o senhor poderia me explicar, por favor?

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Dê uma olhada na edição que fiz na resposta acima. Determine a reta como explicado que você verá o triângulo.

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Boa noite professor, tudo bem? Se fosse Rn+ não nulos, seria um conjunto aberto (melhor, não-fechado)? No caso, pode existir uma sequência convergente inteiramente contida, digamos no R+ não nulo, convergindo para o 0, sendo que 0 não está contido no conjunto.

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Sim, \(R_{+}^{n}=(0,\infty)\times \cdots \times (0,\infty)\) é um conjunto aberto.