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Quais desses conjuntos são convexos?

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perguntada Jan 25, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,526 pontos)  

1) Seja \(C_1,\cdots,C_n\) conjuntos convexos. Seja \(C=\sum_{i=1} ^{n}c_i C_i \).

2) Uma reta.

3) O disco no \(\mathbb{R}^2\) dado por \(D=\{x,y\in\mathbb{R}:\; x^2+y^2\le 1\}\).

4) A circunferência no \(\mathbb{R}^2\) dado por \(C=\{x,y\in\mathbb{R}:\; x^2+y^2= 1\}\).

5) O cone no \(\mathbb{R}^n\). Um conjunto \(\mathbb{C}\) é um cone se \(\forall x\in \mathbb{C}\subset \mathbb{R}^n\), \(\lambda x\in\mathbb{C}\), \(\forall \lambda \in \mathbb{R}_+\).

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1 Resposta

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respondida Jan 25, 2016 por danielcajueiro (5,526 pontos)  

Um conjunto é dito ser convexo se, e somente se, para dois pontos quaisquer pertencentes a esse conjunto o seguimento de reta que lida esses dois pontos também está inteiramente contido nesse conjunto. Intuitivamente, um conjunto é convexo quando ele não possui nenhum furo.

Normalmente, para provar formalmente que um conjunto é convexo, você usa a definição de combinação linear convexa. De fato, um conjunto é convexo se todas as combinações lineares convexas entre dois pontos pertence ao conjunto.

1) Seja \(C_1,\cdots,C_n\) conjuntos convexos. Como provar que \(C=\sum_{i=1} ^{n}c_i C_i \) é convexo, onde \(c_i\in \mathbb{R}\)?

Suponha que (x,y\in C\). Logo, desejamos provar que \(\forall \alpha \in \mathbb{R}, \alpha x+ (1-\alpha) y\in C\).

a) Sabemos que, por definição de \(C\), \(x=\sum_{i=1}^{n}c_i x_i\) e \(y=\sum_{i=1}^{n}c_i y_i\).

b) Sabemos também que para todo \(x_i,y_i\in C_i\), nós temos \(\alpha x_i + (1-\alpha y_i) \in C_i\), pois cada \(C_i\) é convexo

De (a), temos \(\alpha x+ (1-\alpha) y=\alpha (\sum_{i=1}^{n}c_i x_i)+ (1-\alpha) \sum_{i=1}^{n}c_i y_i\) \(= \sum_{i=1}^{n}c_i [\alpha x_i+ (1-\alpha) y_i]\).

Usando (b), sabemos que o ponto \([\alpha x_i+ (1-\alpha) y_i]\in C_i\). Logo, usando (a) novamente, a soma ponderada pertencerá a \(C\), como queríamos demonstrar.

Para os outros casos, a intuição é suficiente para responder.

(2) É um conjunto convexo, pois toda reta inclui todos os seguimentos formados por dois pontos dela.

(3) É convexo, pois é um disco sem furos.

(4) Note que NÃO é convexo, pois a cicunferência possui apenas a fronteira e qualquer seguimento formado por dois pontos (distintos) da fronteira não pertence a circunferência.

(5) Não é convexo. Note que o gráfico da função \(f(x)=|x|\) e o conjunto de pontos formado por esse gráfico obviamente não é convexo.

comentou Nov 21, 2016 por Mihalis Yacalos (1 ponto)  
Na (5), se o cone for reto, é um conjunto convexo?
comentou Nov 21, 2016 por danielcajueiro (5,526 pontos)  
Se for sólido (isto é, incluir o interior) SIM!
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