Um conjunto é dito ser convexo se, e somente se, para dois pontos quaisquer pertencentes a esse conjunto o seguimento de reta que lida esses dois pontos também está inteiramente contido nesse conjunto. Intuitivamente, um conjunto é convexo quando ele não possui nenhum furo.
Normalmente, para provar formalmente que um conjunto é convexo, você usa a definição de combinação linear convexa. De fato, um conjunto é convexo se todas as combinações lineares convexas entre dois pontos pertence ao conjunto.
1) Seja \(C_1,\cdots,C_n\) conjuntos convexos. Como provar que \(C=\sum_{i=1} ^{n}c_i C_i \) é convexo, onde \(c_i\in \mathbb{R}\)?
Suponha que (x,y\in C\). Logo, desejamos provar que \(\forall \alpha \in \mathbb{R}, \alpha x+ (1-\alpha) y\in C\).
a) Sabemos que, por definição de \(C\), \(x=\sum_{i=1}^{n}c_i x_i\) e \(y=\sum_{i=1}^{n}c_i y_i\).
b) Sabemos também que para todo \(x_i,y_i\in C_i\), nós temos \(\alpha x_i + (1-\alpha y_i) \in C_i\), pois cada \(C_i\) é convexo
De (a), temos \(\alpha x+ (1-\alpha) y=\alpha (\sum_{i=1}^{n}c_i x_i)+ (1-\alpha) \sum_{i=1}^{n}c_i y_i\) \(= \sum_{i=1}^{n}c_i [\alpha x_i+ (1-\alpha) y_i]\).
Usando (b), sabemos que o ponto \([\alpha x_i+ (1-\alpha) y_i]\in C_i\). Logo, usando (a) novamente, a soma ponderada pertencerá a \(C\), como queríamos demonstrar.
Para os outros casos, a intuição é suficiente para responder.
(2) É um conjunto convexo, pois toda reta inclui todos os seguimentos formados por dois pontos dela.
(3) É convexo, pois é um disco sem furos.
(4) Note que NÃO é convexo, pois a cicunferência possui apenas a fronteira e qualquer seguimento formado por dois pontos (distintos) da fronteira não pertence a circunferência.
(5) Não é convexo. Note que o gráfico da função \(f(x)=|x|\) e o conjunto de pontos formado por esse gráfico obviamente não é convexo.