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A função de Cobb-Douglas é côncava?

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perguntada Jan 26, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,666 pontos)  

Seja a função de Cobb-Douglas \(f:\mathbb{R}_{++}^2\rightarrow \mathbb{R}_{++} \) dada por \(f(x,y)=x^a y^b,\; a,b>0\). Quais os valores de \(a\) e \(b\) que garantem a sua sua concavidade.

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1 Resposta

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respondida Jan 26, 2016 por danielcajueiro (5,666 pontos)  

Para estudar a concavidade de uma função, o primeiro passo é construir a matriz Hessiana (matriz de segundas derivadas):

\[H=\left[ \begin{array}{cc} a(a-1)x^{a-2}y^b & abx^{a-1}y^{b-1}\\ abx^{a-1}y^{b-1} & b(b-1)x^a y^{b-2}\\ \end{array} \right]\]

Depois precisamos testar o que ocorre com a (semi) positividade ou (semi) negatividade dessa matriz.

Note que o determinante do primeiro menor principal é dado por

\(|H_1|=a(a-1)x^{a-2}y^b\)

\(|H_2|=|H|=ab(1-a-b)x^{2a-2}y^{2b-2}\)

Caso 1: \( a+b\lt 1\)

Então, \(|H_1|\lt 0\) e \(|H_2|\gt 0\). Logo, a matriz \(H\) é negativa definida e a função é estritamente-côncava.

Caso 2: \( a+b= 1\)

Então, \(|H_1|\lt 0\) e \(|H_2|= 0\). Nesse caso, para confirmar que a matriz é semi-negativa definida, precisamos testar a permutação de \(H\) dada por

\[H^\pi=\left[ \begin{array}{cc} b(b-1)x^a y^{b-2} & abx^{a-1}y^{b-1}\\ abx^{a-1}y^{b-1} &a(a-1)x^{a-2}y^b\\ \end{array} \right]\]

que por sua vez terá

\(|H^{\pi}_{1}|=b(b-1)x^{a} y^{b-2}\)

\(|H^{\pi}_{2}|=|H^\pi|=|H|=ab(1-a-b)x^{2a-2}y^{2b-2}\)

que também tem \(|H^{\pi}_{1}\lt 0\) e \(|H^{\pi}_{2}|= 0\).

Logo, a matriz \(H\) é semi-negativa definida e a função \(f\) é côncava.

Caso 3: \( a+b\gt 1\).

Então, \(|H_1|\lt 0\) e \(|H_2|\lt 0\). Logo, a matriz \(H\) NÃO é (semi) positiva nem (semi) negativa definida.

comentou Nov 20, 2016 por 2º semestre 2016 (16 pontos)  
Professor, não entendi como foi feito |H2|. Parece que só foram multiplicados os termos a11 e a22 e não foi subtraído o produto dos outros.
comentou Nov 20, 2016 por Jonasm (1 ponto)  
editado Nov 20, 2016 por Jonasm
a(a-1) x^(a-2) y^b*b(b-1) x^a y^(b-2)- abx^(a-1) y^(b-1)*abx^(a-1) y^(b-1)=
=ab(a-1)(b-1) x^(2a-2) y^(2b-2)- a^2 b^2 x^(2a-2) y^(2b-2)=
=〖(x〗^(2a-2) y^(2b-2))*[ab(a-1)*(b-1)- a^2 b^2 ]=
=〖(x〗^(2a-2) y^(2b-2))ab*[(a-1)*(b-1)-ab)]=
=〖(x〗^(2a-2) y^(2b-2))ab*[(ab-a-b+1)-ab)=
=〖(x〗^(2a-2) y^(2b-2))ab*(-a-b+1)=
=ab(1-a-b) 〖(x〗^(2a-2) y^(2b-2))
comentou Nov 21, 2016 por 2º semestre 2016 (16 pontos)  
Obrigada, Jonas!
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