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Encontre os pontos que otimizam \(f(x,y,z)=2xyz\) sujeito a \(3-x^2 -y^2 - z^2=0\)

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1 Resposta

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respondida Jan 26, 2016 por danielcajueiro (5,376 pontos)  

Vamos seguir o procedimento considerado aqui.

1) Monte o lagrangeano:

\[L(\lambda,x,y,z)=2xyz+\lambda (3-x^2-y^2-z^2)\]

2) Derive em relação a todas as variáveis e iguale a zero:

\[\frac{\partial L}{\partial x}=2yz-2\lambda x=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial y}=2xz-2\lambda y=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial z}=2xy-2\lambda z=0\]

\[\frac{\partial L}{\partial \lambda}=(3-x^2-y^2-z^2)=0\]

3) Resolva o sistema de equações do ítem anterior para encontrar os pontos críticos.

Das equações acima, temos que

\[yz=\lambda x\]

\[xz=\lambda y\]

\[xy=\lambda z\]

Dividindo uma pela outra temos que

\[x^2=y^2=z^2\]

Finalmente, usando a equação relacionada com a restrição temos as seguintes soluções \((x,y,z,\lambda)\):

\((1,1,1,1)\), \((-1,1,1,-1)\), \((1,-1,1,-1)\), \((1,1,-1,-1)\), \((-1,-1,1,1)\), \((-1,1,-1,1)\), \((1,-1,-1,1)\), \((-1,-1,-1,-1)\)

4) Use o hessiano orlado para testar se os pontos críticos do ítem anterior são pontos de máximo ou mínimo.

\[H_o=\left[\begin{array}{cccc} 0 & -2x & -2y& -2z\\ -2x & -2\lambda & 2z &2y \\ -2y & 2z & -2\lambda & 2x\\ -2z & 2y &2x & -2\lambda\end{array} \right]\]

6) Checar se os pontos são máximos ou mínimos

Como \((n-m)=(3-1)=2\), estamos interessados no Hessiano orlado \(|H_o|\) e também no penúltimo determinante \(|H_3|\). Usamos o programa abaixo desenvolvido em Python para testar esses pontos:

import numpy as np

def calcDetH3(x,y,z,lamb):
    H = np.array([[0, -2*x,-2*y], [-2*x,-2*lamb,2*z],[-2*y,2*z,-2*lamb]])
    print
    print np.linalg.det(H)

def calcDetH4(x,y,z,lamb):
    H = np.array([[0, -2*x,-2*y,-2*z], [-2*x,-2*lamb,2*z,2*y],[-2*y,2*z,-2*lamb,2*x],[-2*z,2*y,2*x,-2*lamb]])
    print
    print np.linalg.det(H)

if __name__ == '__main__':
    calcDetH3(1,1,1,1)    
    calcDetH4(1,1,1,1)

Usando esse programa, encontramos que

\(|H_4|=|H_o(1,1,1,1)|=-192\) e \(|H_3|=32\) Logo, o ponto \((1,1,1,1\) é máximo local.

Use o programa acima para testar todos os outros pontos.

comentou Jul 3, 2017 por MARCOS CALDAS (1 ponto)  
O termo (1,−1,−11,1) não seria (1,−1,−1,1) ?
comentou Jul 3, 2017 por MARCOS CALDAS (1 ponto)  
Professor, a derivada de L/λ não seria: -3 + 2X² + 2Y² + 2Z² ? Se positivo, mudaria a matriz H  - primeira linha e coluna, salvo a o temo (0,0).
comentou Jul 6, 2017 por danielcajueiro (5,376 pontos)  
Sim! O termo O termo (1,−1,−11,1) foi corrigido para (1,−1,−1,1)!
comentou Jul 6, 2017 por danielcajueiro (5,376 pontos)  
Note que a derivada está correta. Depende como vc definiu o sinal de \(\lambda\) e a restricão.
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