Qual é uma solução para o exercício 2.B do livro "The Elements of Integration" de Robert G. Bartle?

Question

Show that the Borel algebra \(\mathcal{B}\) is also generated by the collection of all half-open intervals \( (a,b] = \left\{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\right\}\). Also show that \(\mathcal{B}\) is generated by the collection of all half-rays \( \left\{x \in \mathbb{R} : x > a \right\}\), \( a \in \mathbb{R} \).

Answer 1

Seja \(\Omega = \mathbb{R}\). A álgebra de Borel é a \(\sigma\)-álgebra \(\mathcal{B}\) gerada por todos os intervalos abertos \( (a,b)=\left\{x \in \mathbb{R} : a < x < b \right\} \subset \mathbb{R}\), ou seja, \(A = \left\{ (a,b) : a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}, a < b\right\} \subseteq \mathcal{B}\).

A primeira parte da questão pede para mostrar que a álgebra de Borel é a \(\sigma\)-álgebra \(\mathcal{B}_1\) gerada por todos os intervalos semi-abertos \( (a,b] = \left\{x \in \mathbb{R} : a < x \leq b\right\} \), ou seja, \( A_1= \left\{ (a,b] : a \in \mathbb{R}, b \in \mathbb{R}, a < b\right\} \subseteq \mathcal{B}_1\). Para mostrar que \( \mathcal{B}_1 = \mathcal{B} \), é suficiente mostrar que \( A_1 \subseteq \mathcal{B} \) e \( A \subseteq \mathcal{B}_1 \). Inicialmente, note que:

\[ \left(a,b\right] = \bigcap_{n=1}^{\infty}{\left(a, b+\frac{1}{n}\right)} ~~~~~~~~~~~~~~~ (1) \]

\[ \left(a,b\right) = \bigcup_{n=1}^{\infty}{ \left(a, b-\frac{1}{n}\right] } ~~~~~~~~~~~~~~~ (2) \]

Da eq. (1), temos que, dado \( \left( A_n \right) = \left(a, b+\frac{1}{n}\right) \in \mathcal{B} \), aplicando De Morgan, \( \bigcap_{n=1}^{\infty}{A_n} = \bigcap_{n=1}^{\infty}{\left(a, b+\frac{1}{n}\right)} \in \mathcal{B} \). Logo, \( \left(a,b\right] \in \mathcal{B} \). Da eq. (2), temos que, dado \( \left( A_{1,n} \right) = \left(a, b-\frac{1}{n}\right] \in \mathcal{B}_1 \), pela definição de \(\sigma\)-álgebra, \( \bigcup_{n=1}^{\infty}{ A_{1,n} } = \bigcup_{n=1}^{\infty}{ \left(a, b-\frac{1}{n}\right] } \in \mathcal{B}_1\). Logo, \( \left(a,b\right) \in \mathcal{B}_1\).

A segunda parte da questão pede para mostrar que a álgebra de Borel é a \(\sigma\)-álgebra \(\mathcal{B}_2\) gerada por todos os intervalos \( (a,\infty) = \left\{x \in \mathbb{R} : x > a\right\} \), ou seja, \( A_2= \left\{ (a,\infty) : a \in \mathbb{R} \right\} \subseteq \mathcal{B}_2 \). Para tanto, basta notar que:

\[ \left(a,\infty\right) = \bigcup_{n=1}^{\infty}{\left(a, a+n\right)} \in \mathcal{B} \]

\[ \left(a,b\right) = \left(a, \infty\right) \setminus \left( \bigcap_{n=1}^{\infty}{ \left(b-\frac{1}{n}, \infty\right) } \right) \in \mathcal{B}_2 \]