Uma medida é uma função \(\mu\) definida no espaço mensurável \( (\Omega, \mathcal{F}) \) (ou seja, \(\mathcal{F}\) é a \(\sigma\)-álgebra de todos os subconjuntos do conjunto não vazio \(\Omega\) ). Se \(\Omega=\mathbb{R}\) e \(\mathcal{F}=\mathcal{B}\) (álgebra de Borel), então a medida de Lebesgue (ou de Borel) definida em \(\mathcal{B}\) é \(\lambda(E)=b-a\), sendo \(E \in \mathcal{B}\) um intervalo não vazio \(\left(a, b\right)\).
O teorema de Heine-Borel afirma que "A subset of \(\mathbb{R}^p\) is compact if and only if it is closed and bounded" (p. 85 do livro "The Elements of Real Analysis" de Bartle, 1964).
Considere o intervalo compacto \(K=\left[a,b\right]\), \(a < \infty\) e \(b < \infty\). Como se pode perceber, os conjuntos compactos pertencem a \(\mathcal{B}\), pois, como \(\mathcal{B}\) contém todos os intervalos abertos, \(\mathcal{B}\) contém todos os fechados também (olhar p. 7, Exemplo 2.2, item (g), de "The Elements of Integration" e exercício 2.A). Logo, \(K \in \mathcal{B}\).
Esta questão possui várias soluções. Vamos explorar apenas uma delas.
Considere o intervalo compacto \(K=[a,b]\), que é formado pela interseção de uma sequência de intervalos descrescentes \(F_n=(a-\frac{1}{n},b+\frac{1}{n}) \), \(n \in \mathbb{R}\), definido como:
\[
\left[ a,b \right] = \bigcap_{n=1}^{\infty}{ \left( a-\frac{1}{n}, b+\frac{1}{n} \right) }
\]
Aplicando o lema 3.4 (p. 21 de "The Elements of Integration"), dado que \(\lambda(F_1) < \infty\), temos que:
\[
\lambda\left(K\right)
= \lambda\left( \bigcap_{n=1}^{\infty}{ F_n } \right)
= \lim_{n \rightarrow \infty}{\lambda(F_n)}
= \lim_{n \rightarrow \infty}{\left( b-a+\frac{2}{n} \right)}
= b - a < \infty
\]