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Qual é uma solução para o exercício 3.S do livro "The Elements of Integration" de Robert G. Bartle?

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perguntada Fev 4, 2016 em Matemática por Saulo (426 pontos)  

Se \(\lambda\) denota a medida de Lebesgue e \(E\) é um conjunto aberto em \(\mathbb{R}\), então \(\lambda(E)>0\). Usar o teorema de Heine-Borel (p. 85 do livro "The Elements of Real Analysis" de Bartle, 1964) para mostrar que se \(K\) é um subconjunto compacto em \(\mathbb{R}\), então \(\lambda(K) < \infty\).

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1 Resposta

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respondida Fev 4, 2016 por Saulo (426 pontos)  
selecionada Fev 5, 2016 por danielcajueiro
 
Melhor resposta

Uma medida é uma função \(\mu\) definida no espaço mensurável \( (\Omega, \mathcal{F}) \) (ou seja, \(\mathcal{F}\) é a \(\sigma\)-álgebra de todos os subconjuntos do conjunto não vazio \(\Omega\) ). Se \(\Omega=\mathbb{R}\) e \(\mathcal{F}=\mathcal{B}\) (álgebra de Borel), então a medida de Lebesgue (ou de Borel) definida em \(\mathcal{B}\) é \(\lambda(E)=b-a\), sendo \(E \in \mathcal{B}\) um intervalo não vazio \(\left(a, b\right)\).

O teorema de Heine-Borel afirma que "A subset of \(\mathbb{R}^p\) is compact if and only if it is closed and bounded" (p. 85 do livro "The Elements of Real Analysis" de Bartle, 1964).

Considere o intervalo compacto \(K=\left[a,b\right]\), \(a < \infty\) e \(b < \infty\). Como se pode perceber, os conjuntos compactos pertencem a \(\mathcal{B}\), pois, como \(\mathcal{B}\) contém todos os intervalos abertos, \(\mathcal{B}\) contém todos os fechados também (olhar p. 7, Exemplo 2.2, item (g), de "The Elements of Integration" e exercício 2.A). Logo, \(K \in \mathcal{B}\).

Esta questão possui várias soluções. Vamos explorar apenas uma delas.

Considere o intervalo compacto \(K=[a,b]\), que é formado pela interseção de uma sequência de intervalos descrescentes \(F_n=(a-\frac{1}{n},b+\frac{1}{n}) \), \(n \in \mathbb{R}\), definido como:
\[ \left[ a,b \right] = \bigcap_{n=1}^{\infty}{ \left( a-\frac{1}{n}, b+\frac{1}{n} \right) } \]

Aplicando o lema 3.4 (p. 21 de "The Elements of Integration"), dado que \(\lambda(F_1) < \infty\), temos que:
\[ \lambda\left(K\right) = \lambda\left( \bigcap_{n=1}^{\infty}{ F_n } \right) = \lim_{n \rightarrow \infty}{\lambda(F_n)} = \lim_{n \rightarrow \infty}{\left( b-a+\frac{2}{n} \right)} = b - a < \infty \]

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