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Como calcular o expoente de Hurst (Hurst exponent) que mede Dependência de Longo Prazo (LRD - Long Range Dependence) em séries temporais?

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perguntada Fev 9, 2016 em Sistemas Complexos por danielcajueiro (5,381 pontos)  
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2 Respostas

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respondida Fev 9, 2016 por danielcajueiro (5,381 pontos)  

Eu desenvolvi esses programas há muito tempo atrás em Matlab para calcular o R/S e o V/S ao longo do tempo (Long Range Dependence Over Time using R/S and V/S). Como muita gente me pede esses códigos estou disponibilizando aqui.

Referências:

DO Cajueiro, BM Tabak. The Hurst exponent over time: testing the assertion that emerging markets are becoming more efficient. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications 336 (3), 521-537, 2004.

Cajueiro, D. O. and Tabak, B. M. The rescaled variance statistic and the determination of the Hurst exponent. Mathematics and Computers in Simulation 70, 172 -179, 2005.

Souza, S. R. S., Tabak, B. M. ; Cajueiro, D. O. Investigação da memória de longo prazo na taxa de câmbio no Brasil. Revista Brasileira de Economia, v. 60, p. 193-209, 2006.

Código:

Main File

%You must save all the programs in the same directory and input the file data.
clear all
close all

load inputFile.dat % You need to input the correct input data here.

dados=inputFile; % You have to change this name to be the same of inputFile.dat (without ".dat")

npt=length(dados);


escalaInicial=5;
escalaFinal=120;
aumentoEscala=1.2;
deltaEscala=5;
numeroMinimoDePontos=10;
blockShuf=10;
tamanhoSerie=1008;

disp('This program was developed by Daniel O. Cajueiro')
disp('If you use this program, please cite') 
disp('Cajueiro, D. O. and Tabak, B. M.')
disp('The rescaled variance statistic and the determination of the Hurst exponent.')
disp('Mathematics and Computers in Simulation 70 (2005) 172�179')


for k=1:npt-tamanhoSerie
    k
    serie=log(dados(k:k+tamanhoSerie-1));
    [Hrs]=frs(escalaInicial,escalaFinal,aumentoEscala,deltaEscala,numeroMinimoDePontos,tamanhoSerie,serie);
    H(k,1)=Hrs;
    [Hrss]=frss(escalaInicial,escalaFinal,aumentoEscala,deltaEscala,blockShuf,numeroMinimoDePontos,tamanhoSerie,serie);
    H(k,2)=Hrss;
    [Hvs]=fvs(escalaInicial,escalaFinal,aumentoEscala,deltaEscala,numeroMinimoDePontos,tamanhoSerie,serie);
    H(k,3)=Hvs;
    [Hvss]=fvss(escalaInicial,escalaFinal,aumentoEscala,deltaEscala,blockShuf,numeroMinimoDePontos,tamanhoSerie,serie);
    H(k,4)=Hvss;
end    
 save longRangeDependence.dat H -ascII

frs.m

    function [Hrs]=frs(escalaInicial,escalaFinal,aumentoEscala,deltaEscala,numeroMinimoDePontos,tamanhoSerie,serie)

    for i=2:tamanhoSerie
        rserie(i,1)=serie(i,1)-serie(i-1,1);
    end
    tamanhoSerie=tamanhoSerie-1;
    clear serie;
    serie=rserie;
    clear rserie;

    % Zerando os vetores

    sigmaRS=[];
    escalas=[];

    % Calculo do DFA
    escala=escalaInicial;
    numeroEscalas=0;
    while ((escala<tamanhoSerie-numeroMinimoDePontos)&(escala<=escalaFinal))
        numeroEscalas=numeroEscalas+1;
        sigmaRS(numeroEscalas,1)=0;
        for i=1:tamanhoSerie-escala-1

            %Definicao da serie dentro da escala
            serieEscala=serie(i:i+escala-1,1);
            m=mean(serieEscala);
            s=sqrt(var(serieEscala));

            x=[];

            x(1,1)=serieEscala(1,1)-m; % (j*tau) indica em que escala esta se iniciando a contagem
            % De fato, acima se esta calculando o R
            for j=2:escala
                x(j,1)=x(j-1,1)+serieEscala(j)-m;
            end

            % Calculo de max e minx dentro da escala
            maxx=max(x);
            minx=min(x);
            r=maxx-minx;

            sigmaRS(numeroEscalas,1)=sigmaRS(numeroEscalas,1)+(r/s);

        end
        sigmaRS(numeroEscalas,1)=sigmaRS(numeroEscalas,1)/(tamanhoSerie-escala+1);
        escalas(numeroEscalas,1)=escala;
        if (escala*aumentoEscala-escala>deltaEscala)
            escala=round(escala*aumentoEscala);
        else
            escala=escala+deltaEscala;
        end
    end
    X=[ones(numeroEscalas,1) log(escalas)];
    Y=log(sigmaRS);
    [B,Bint] = regress(Y,X);
    Hrs=B(2);

frss.m

function [Hrss]=frss(escalaInicial,escalaFinal,aumentoEscala,deltaEscala,block_shuf,numeroMinimoDePontos,tamanhoSerie,serie)

for i=2:tamanhoSerie
    rserie(i-1,1)=serie(i,1)-serie(i-1,1);
end
tamanhoSerie=tamanhoSerie-1;
clear serie;
serie=rserie;
clear rserie;

% Shuffling data

conts=0;
for i=1:block_shuf:tamanhoSerie-block_shuf
   aux=[];
   conts=0;
   for j=i:i+block_shuf-1    
      conts=conts+1;
      aux(conts)=serie(j,1);
   end   
   auxrand=randperm(block_shuf);
   conts=0;
   for j=i:i+block_shuf-1    
      conts=conts+1;
      serie(j,1)=aux(auxrand(conts));
   end   
end



% Zerando os vetores

sigmaRS=[];
escalas=[];

% Calculo do DFA
escala=escalaInicial;
numeroEscalas=0;
while ((escala<tamanhoSerie-numeroMinimoDePontos)&(escala<=escalaFinal))
    numeroEscalas=numeroEscalas+1;
    sigmaRS(numeroEscalas,1)=0;
    for i=1:tamanhoSerie-escala-1

        %Definicao da serie dentro da escala
        serieEscala=serie(i:i+escala-1,1);
        m=mean(serieEscala);
        s=sqrt(var(serieEscala));

        x=[];

        x(1,1)=serieEscala(1,1)-m; % (j*tau) indica em que escala esta se iniciando a contagem
        % De fato, acima se esta calculando o R
        for j=2:escala
            x(j,1)=x(j-1,1)+serieEscala(j)-m;
        end

        % Calculo de max e minx dentro da escala
        maxx=max(x);
        minx=min(x);
        r=maxx-minx;

        sigmaRS(numeroEscalas,1)=sigmaRS(numeroEscalas,1)+(r/s);

    end
    sigmaRS(numeroEscalas,1)=sigmaRS(numeroEscalas,1)/(tamanhoSerie-escala+1);
    escalas(numeroEscalas,1)=escala;
    if (escala*aumentoEscala-escala>deltaEscala)
        escala=round(escala*aumentoEscala);
    else
        escala=escala+deltaEscala;
    end
end
X=[ones(numeroEscalas,1) log(escalas)];
Y=log(sigmaRS);
[B,Bint] = regress(Y,X);
Hrss=B(2);

fvs.m

    function [Hvs]=fvs(escalaInicial,escalaFinal,aumentoEscala,deltaEscala,numeroMinimoDePontos,tamanhoSerie,serie)

    for i=2:tamanhoSerie
        rserie(i-1,1)=serie(i,1)-serie(i-1,1);
    end
    tamanhoSerie=tamanhoSerie-1;
    clear serie;
    serie=rserie;
    clear rserie;

    % Zerando os vetores

    sigma2VS=[];
    escalas=[];

    % Calculo do VS
    escala=escalaInicial;
    numeroEscalas=0;
    while ((escala<tamanhoSerie-numeroMinimoDePontos)&(escala<=escalaFinal))
        numeroEscalas=numeroEscalas+1;
        sigma2VS(numeroEscalas,1)=0;
        for i=1:tamanhoSerie-escala-1

            %Definicao da serie dentro da escala
            serieEscala=serie(i:i+escala-1,1);
            m=mean(serieEscala);
            s=sqrt(var(serieEscala));

            sumk1=0;
            sumk2=0;
            for j=1:escala
                suml=0;
                for k=1:j
                    suml=suml+serieEscala(k)-m;
                end
                sumk1=sumk1+suml^2;
                sumk2=sumk2+suml;
            end

            sigma2VS(numeroEscalas)=sigma2VS(numeroEscalas)+(1/((s^2)*escala))*(sumk1-(1/escala)*((sumk2)^2));


        end
        sigma2VS(numeroEscalas,1)=sigma2VS(numeroEscalas,1)/(tamanhoSerie-escala-1);
        escalas(numeroEscalas,1)=escala;
        if (escala*aumentoEscala-escala>deltaEscala)
            escala=round(escala*aumentoEscala);
        else
            escala=escala+deltaEscala;
        end
    end
    X=[ones(numeroEscalas,1) log(escalas)];
    Y=0.5*log(sigma2VS);
    [B,Bint] = regress(Y,X);
    Hvs=B(2);

fvss.m

function [Hvss]=fvss(escalaInicial,escalaFinal,aumentoEscala,deltaEscala,block_shuf,numeroMinimoDePontos,tamanhoSerie,serie)

for i=2:tamanhoSerie
    rserie(i-1,1)=serie(i,1)-serie(i-1,1);
end
tamanhoSerie=tamanhoSerie-1;
clear serie;
serie=rserie;
clear rserie;

% Shuffling data

conts=0;
for i=1:block_shuf:tamanhoSerie-block_shuf
   aux=[];
   conts=0;
   for j=i:i+block_shuf-1    
      conts=conts+1;
      aux(conts)=serie(j,1);
   end   
   auxrand=randperm(block_shuf);
   conts=0;
   for j=i:i+block_shuf-1    
      conts=conts+1;
      serie(j,1)=aux(auxrand(conts));
   end   
end


% Zerando os vetores

sigma2VS=[];
escalas=[];

% Calculo do VS
escala=escalaInicial;
numeroEscalas=0;
while ((escala<tamanhoSerie-numeroMinimoDePontos)&(escala<=escalaFinal))
    numeroEscalas=numeroEscalas+1;
    sigma2VS(numeroEscalas,1)=0;
    for i=1:tamanhoSerie-escala-1

        %Definicao da serie dentro da escala
        serieEscala=serie(i:i+escala-1,1);
        m=mean(serieEscala);
        s=sqrt(var(serieEscala));

        sumk1=0;
        sumk2=0;
        for j=1:escala
            suml=0;
            for k=1:j
                suml=suml+serieEscala(k)-m;
            end
            sumk1=sumk1+suml^2;
            sumk2=sumk2+suml;
        end

        sigma2VS(numeroEscalas)=sigma2VS(numeroEscalas)+(1/((s^2)*escala))*(sumk1-(1/escala)*((sumk2)^2));


    end
    sigma2VS(numeroEscalas,1)=sigma2VS(numeroEscalas,1)/(tamanhoSerie-escala-1);
    escalas(numeroEscalas,1)=escala;
    if (escala*aumentoEscala-escala>deltaEscala)
        escala=round(escala*aumentoEscala);
    else
        escala=escala+deltaEscala;
    end
end
X=[ones(numeroEscalas,1) log(escalas)];
Y=0.5*log(sigma2VS);
[B,Bint] = regress(Y,X);
Hvss=B(2);
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respondida Fev 9, 2016 por danielcajueiro (5,381 pontos)  

Eu desenvolvi esses programas há muito tempo atrás em Matlab para calcular o R/S e o V/S da série inteira (Long Range Dependence R/S, V/S, GHE, DFA, DMA). Como muita gente me pede esses códigos estou disponibilizando aqui.

Referências:

Daniel O. Cajueiro, Benjamin M. Tabak. Roberto Andrade Fluctuations in interbank network dynamics. Physical Review. E, Statistical, Nonlinear and Soft Matter Physics, v. 79, p. 037101, 2009.

Daniel O. Cajueiro, Benjamin M. Tabak. The rescaled variance statistic and the determination of the Hurst exponent. Mathematics and Computers in Simulation, Volume 70, Issue 3, 8 November 2005, Pages 172-179

Daniel O. Cajueiro, Benjamin M. Tabak Long-range dependence and market structure. Chaos, Solitons & Fractals, Volume 31, Issue 4, February 2007, Pages 995-1000.

Daniel O. Cajueiro, Benjamin M. Tabak Possible causes of long-range dependence in the Brazilian stock market. Physica A: Statistical Mechanics and its Applications, Volume 345, Issues 3–4, 15 January 2005, Pages 635-645

Daniel O. Cajueiro, Benjamin M. Tabak. Fluctuation dynamics in US interest rates and the role of monetary policy. Finance Research Letters, Volume 7, Issue 3, September 2010, Pages 163-169

Main code

% Programa that evaluates LRD using several different methods (with and without shuffle for R/S and V/S):
% R/S
% V/S
% GHE
% DFA
% DMA
% Input: Series of prices in Excel
% Output: Hurst Exponent

clear all
close all
dados=xlsread('acoes.xls'); % Input your file in Excel
[nLinhas,nColunas]=size(dados);

escalaInicial=5;
escalaFinal=120;
aumentoEscala=1.2;
deltaEscala=5;
numeroMinimoDePontos=10;
blockShuf=10;


for iSerie=1:nColunas
    iSerie
    % Limpando os dados dos NAN

    cont=0;
    for i=1:nLinhas
        if isnan(dados(i,iSerie))
            break;
        else
           cont=cont+1; 
        end    
    end    
    tamanhoSerie=cont;    

    serie=log(dados(1:tamanhoSerie,iSerie));

    [Hrs,desvio]=frs(escalaInicial,escalaFinal,aumentoEscala,deltaEscala,numeroMinimoDePontos,tamanhoSerie,serie);

    H(1,iSerie)=Hrs;
    Hdesvio(1,iSerie)=desvio;

    [Hrss,desvio]=frss(escalaInicial,escalaFinal,aumentoEscala,deltaEscala,blockShuf,numeroMinimoDePontos,tamanhoSerie,serie);

    H(2,iSerie)=Hrss;
    Hdesvio(2,iSerie)=desvio;

    [Hvs,desvio]=fvs(escalaInicial,escalaFinal,aumentoEscala,deltaEscala,numeroMinimoDePontos,tamanhoSerie,serie);

    H(3,iSerie)=Hvs;
    Hdesvio(3,iSerie)=desvio;

    [Hvss,desvio]=fvss(escalaInicial,escalaFinal,aumentoEscala,deltaEscala,blockShuf,numeroMinimoDePontos,tamanhoSerie,serie);

    H(4,iSerie)=Hvss;
    Hdesvio(4,iSerie)=desvio;

    [Hghe,desvio]=fghe(escalaInicial,escalaFinal,aumentoEscala,deltaEscala,numeroMinimoDePontos,tamanhoSerie,serie);

    H(5,iSerie)=Hghe;
    Hdesvio(5,iSerie)=desvio;

    [Hdfa,desvio]=fdfa(escalaInicial,escalaFinal,aumentoEscala,deltaEscala,numeroMinimoDePontos,tamanhoSerie,serie);

    H(6,iSerie)=Hdfa;
    Hdesvio(6,iSerie)=desvio;

    [Hdma,desvio]=fdma(escalaInicial,escalaFinal,aumentoEscala,deltaEscala,numeroMinimoDePontos,tamanhoSerie,serie);

    H(7,iSerie)=Hdma;
    Hdesvio(7,iSerie)=desvio;
 end

 save longRangeDependence.dat H -ascII

frs.m:

function [Hrs,desvio]=frs(escalaInicial,escalaFinal,aumentoEscala,deltaEscala,numeroMinimoDePontos,tamanhoSerie,serie)

for i=2:tamanhoSerie
    rserie(i,1)=serie(i,1)-serie(i-1,1);
end
tamanhoSerie=tamanhoSerie-1;
clear serie;
serie=rserie;
clear rserie;

% Zerando os vetores

sigmaRS=[];
escalas=[];

% Calculo do DFA
escala=escalaInicial;
numeroEscalas=0;
while ((escala<tamanhoSerie-numeroMinimoDePontos)&(escala<=escalaFinal))
    numeroEscalas=numeroEscalas+1;
    sigmaRS(numeroEscalas,1)=0;
    for i=1:tamanhoSerie-escala-1

        %Definicao da serie dentro da escala
        serieEscala=serie(i:i+escala-1,1);
        m=mean(serieEscala);
        s=sqrt(var(serieEscala));

        x=[];

        x(1,1)=serieEscala(1,1)-m; % (j*tau) indica em que escala esta se iniciando a contagem
        % De fato, acima se esta calculando o R
        for j=2:escala
            x(j,1)=x(j-1,1)+serieEscala(j)-m;
        end

        % Calculo de max e minx dentro da escala
        maxx=max(x);
        minx=min(x);
        r=maxx-minx;

        sigmaRS(numeroEscalas,1)=sigmaRS(numeroEscalas,1)+(r/s);

    end
    sigmaRS(numeroEscalas,1)=sigmaRS(numeroEscalas,1)/(tamanhoSerie-escala+1);
    escalas(numeroEscalas,1)=escala;
    if (escala*aumentoEscala-escala>deltaEscala)
        escala=round(escala*aumentoEscala);
    else
        escala=escala+deltaEscala;
    end
end
X=[ones(numeroEscalas,1) log(escalas)];
Y=log(sigmaRS);
[B,Bint] = regress(Y,X);
Hrs=B(2);
desvio=Bint(2,2)-B(2);

frss.m

function [Hrss,desvio]=frss(escalaInicial,escalaFinal,aumentoEscala,deltaEscala,block_shuf,numeroMinimoDePontos,tamanhoSerie,serie)

for i=2:tamanhoSerie
    rserie(i-1,1)=serie(i,1)-serie(i-1,1);
end
tamanhoSerie=tamanhoSerie-1;
clear serie;
serie=rserie;
clear rserie;

% Shuffling data

conts=0;
for i=1:block_shuf:tamanhoSerie-block_shuf
   aux=[];
   conts=0;
   for j=i:i+block_shuf-1    
      conts=conts+1;
      aux(conts)=serie(j,1);
   end   
   auxrand=randperm(block_shuf);
   conts=0;
   for j=i:i+block_shuf-1    
      conts=conts+1;
      serie(j,1)=aux(auxrand(conts));
   end   
end



% Zerando os vetores

sigmaRS=[];
escalas=[];

% Calculo do DFA
escala=escalaInicial;
numeroEscalas=0;
while ((escala<tamanhoSerie-numeroMinimoDePontos)&(escala<=escalaFinal))
    numeroEscalas=numeroEscalas+1;
    sigmaRS(numeroEscalas,1)=0;
    for i=1:tamanhoSerie-escala-1

        %Definicao da serie dentro da escala
        serieEscala=serie(i:i+escala-1,1);
        m=mean(serieEscala);
        s=sqrt(var(serieEscala));

        x=[];

        x(1,1)=serieEscala(1,1)-m; % (j*tau) indica em que escala esta se iniciando a contagem
        % De fato, acima se esta calculando o R
        for j=2:escala
            x(j,1)=x(j-1,1)+serieEscala(j)-m;
        end

        % Calculo de max e minx dentro da escala
        maxx=max(x);
        minx=min(x);
        r=maxx-minx;

        sigmaRS(numeroEscalas,1)=sigmaRS(numeroEscalas,1)+(r/s);

    end
    sigmaRS(numeroEscalas,1)=sigmaRS(numeroEscalas,1)/(tamanhoSerie-escala+1);
    escalas(numeroEscalas,1)=escala;
    if (escala*aumentoEscala-escala>deltaEscala)
        escala=round(escala*aumentoEscala);
    else
        escala=escala+deltaEscala;
    end
end
X=[ones(numeroEscalas,1) log(escalas)];
Y=log(sigmaRS);
[B,Bint] = regress(Y,X);
Hrss=B(2);
desvio=Bint(2,2)-B(2);

fvs.m

function [Hvs,desvio]=fvs(escalaInicial,escalaFinal,aumentoEscala,deltaEscala,numeroMinimoDePontos,tamanhoSerie,serie)

for i=2:tamanhoSerie
    rserie(i-1,1)=serie(i,1)-serie(i-1,1);
end
tamanhoSerie=tamanhoSerie-1;
clear serie;
serie=rserie;
clear rserie;

% Zerando os vetores

sigma2VS=[];
escalas=[];

% Calculo do VS
escala=escalaInicial;
numeroEscalas=0;
while ((escala<tamanhoSerie-numeroMinimoDePontos)&(escala<=escalaFinal))
    numeroEscalas=numeroEscalas+1;
    sigma2VS(numeroEscalas,1)=0;
    for i=1:tamanhoSerie-escala-1

        %Definicao da serie dentro da escala
        serieEscala=serie(i:i+escala-1,1);
        m=mean(serieEscala);
        s=sqrt(var(serieEscala));

        sumk1=0;
        sumk2=0;
        for j=1:escala
            suml=0;
            for k=1:j
                suml=suml+serieEscala(k)-m;
            end
            sumk1=sumk1+suml^2;
            sumk2=sumk2+suml;
        end

        sigma2VS(numeroEscalas)=sigma2VS(numeroEscalas)+(1/((s^2)*escala))*(sumk1-(1/escala)*((sumk2)^2));


    end
    sigma2VS(numeroEscalas,1)=sigma2VS(numeroEscalas,1)/(tamanhoSerie-escala-1);
    escalas(numeroEscalas,1)=escala;
    if (escala*aumentoEscala-escala>deltaEscala)
        escala=round(escala*aumentoEscala);
    else
        escala=escala+deltaEscala;
    end
end
X=[ones(numeroEscalas,1) log(escalas)];
Y=0.5*log(sigma2VS);
[B,Bint] = regress(Y,X);
Hvs=B(2);
desvio=Bint(2,2)-B(2);

fvss.m

function [Hvss,desvio]=fvss(escalaInicial,escalaFinal,aumentoEscala,deltaEscala,block_shuf,numeroMinimoDePontos,tamanhoSerie,serie)

for i=2:tamanhoSerie
    rserie(i-1,1)=serie(i,1)-serie(i-1,1);
end
tamanhoSerie=tamanhoSerie-1;
clear serie;
serie=rserie;
clear rserie;

% Shuffling data

conts=0;
for i=1:block_shuf:tamanhoSerie-block_shuf
   aux=[];
   conts=0;
   for j=i:i+block_shuf-1    
      conts=conts+1;
      aux(conts)=serie(j,1);
   end   
   auxrand=randperm(block_shuf);
   conts=0;
   for j=i:i+block_shuf-1    
      conts=conts+1;
      serie(j,1)=aux(auxrand(conts));
   end   
end


% Zerando os vetores

sigma2VS=[];
escalas=[];

% Calculo do VS
escala=escalaInicial;
numeroEscalas=0;
while ((escala<tamanhoSerie-numeroMinimoDePontos)&(escala<=escalaFinal))
    numeroEscalas=numeroEscalas+1;
    sigma2VS(numeroEscalas,1)=0;
    for i=1:tamanhoSerie-escala-1

        %Definicao da serie dentro da escala
        serieEscala=serie(i:i+escala-1,1);
        m=mean(serieEscala);
        s=sqrt(var(serieEscala));

        sumk1=0;
        sumk2=0;
        for j=1:escala
            suml=0;
            for k=1:j
                suml=suml+serieEscala(k)-m;
            end
            sumk1=sumk1+suml^2;
            sumk2=sumk2+suml;
        end

        sigma2VS(numeroEscalas)=sigma2VS(numeroEscalas)+(1/((s^2)*escala))*(sumk1-(1/escala)*((sumk2)^2));


    end
    sigma2VS(numeroEscalas,1)=sigma2VS(numeroEscalas,1)/(tamanhoSerie-escala-1);
    escalas(numeroEscalas,1)=escala;
    if (escala*aumentoEscala-escala>deltaEscala)
        escala=round(escala*aumentoEscala);
    else
        escala=escala+deltaEscala;
    end
end
X=[ones(numeroEscalas,1) log(escalas)];
Y=0.5*log(sigma2VS);
[B,Bint] = regress(Y,X);
Hvss=B(2);
desvio=Bint(2,2)-B(2);

fghe.m

function [Hghe,desvio]=fghe(escalaInicial,escalaFinal,aumentoEscala,deltaEscala,numeroMinimoDePontos,tamanhoSerie,serie)

% Zerando os vetores

K2=[];
escalas=[];

% Calculo do DFA
escala=escalaInicial;
numeroEscalas=0;
while ((escala<tamanhoSerie-numeroMinimoDePontos)&(escala<=escalaFinal))
    numeroEscalas=numeroEscalas+1;
    sigma2fa(numeroEscalas,1)=0;
    soma1=0;
    soma2=0;
    for i=1:tamanhoSerie-escala-1
        soma1=soma1+(abs(serie(i+escala)-serie(i)))^2;
        soma2=soma2+(abs(serie(i)))^2;
    end
    soma1=soma1/(tamanhoSerie-escala-1);
    soma2=soma2/(tamanhoSerie-escala-1);
    K2(numeroEscalas,1)=soma1/soma2;
    escalas(numeroEscalas,1)=escala;
    if (escala*aumentoEscala-escala>deltaEscala)
        escala=round(escala*aumentoEscala);
    else
        escala=escala+deltaEscala;
    end
end
X=[ones(numeroEscalas,1) log(escalas)];
Y=0.5*log(K2);
[B,Bint] = regress(Y,X);
Hghe=B(2);
desvio=Bint(2,2)-B(2);

fdfa.m:

    function [Hdfa,desvio]=fdfa(escalaInicial,escalaFinal,aumentoEscala,deltaEscala,numeroMinimoDePontos,tamanhoSerie,serie)

    seriex=(1:tamanhoSerie)';
    % Zerando os vetores

    sigma2fa=[];
    escalas=[];

    % Calculo do DFA
    escala=escalaInicial;
    numeroEscalas=0;
    while ((escala<tamanhoSerie-numeroMinimoDePontos)&(escala<=escalaFinal))
        numeroEscalas=numeroEscalas+1;
        sigma2fa(numeroEscalas,1)=0;
        for i=1:tamanhoSerie-escala-1

            %Definicao da serie dentro da escala
            serieEscala=serie(i:i+escala-1,1);
            serieEscalax=seriex(i:i+escala-1,1);
            % Calculo da regressao dentro da escala
            regressX=[ones(escala,1) serieEscalax];
            regressY=serieEscala;
            coeficiente=regress(regressY,regressX);

            % Calculo do dfa dentro de cada escala
            for j=1:escala
                sigma2fa(numeroEscalas,1)=sigma2fa(numeroEscalas,1)+((serie(i+j-1)-coeficiente(1)-coeficiente(2)*seriex(i+j-1))^2)/escala;  %trocar abs
            end

        end
        sigma2fa(numeroEscalas,1)=sigma2fa(numeroEscalas,1)/(tamanhoSerie-escala-1);
        escalas(numeroEscalas,1)=escala;
        if (escala*aumentoEscala-escala>deltaEscala)
            escala=round(escala*aumentoEscala);
        else
            escala=escala+deltaEscala;
        end
    end
    X=[ones(numeroEscalas,1) log(escalas)];
    Y=0.5*log(sigma2fa);
    [B,Bint] = regress(Y,X);
    Hdfa=B(2);
    desvio=Bint(2,2)-B(2);

fdma:

function [Hdma,desvio]=fdma(escalaInicial,escalaFinal,aumentoEscala,deltaEscala,numeroMinimoDePontos,tamanhoSerie,serie)

% Zerando os vetores

sigma2MA=[];
escalas=[];

% Calculo do DMA
escala=escalaInicial;
numeroEscalas=0;
while ((escala<tamanhoSerie-numeroMinimoDePontos)&(escala<=escalaFinal))
    numeroEscalas=numeroEscalas+1;
    sigma2MA(numeroEscalas,1)=0;
    for i=escala+1:tamanhoSerie
        %Definicao da serie dentro da escala
        serieEscala=serie(i-escala:i-1,1);
        % Calculo da media movel dentro da escala
        movingAverage=0;
        for j=1:escala
            movingAverage=movingAverage+serieEscala(j);
        end
        movingAverage=movingAverage/escala;
        % Calculo do Sigma2MA dentro de cada escala
        sigma2MA(numeroEscalas,1)=sigma2MA(numeroEscalas,1)+(serie(i)-movingAverage)^2;
    end
    sigma2MA(numeroEscalas,1)=sigma2MA(numeroEscalas,1)/(tamanhoSerie-escala-1);
    escalas(numeroEscalas,1)=escala;
    if (escala*aumentoEscala-escala>deltaEscala)
        escala=round(escala*aumentoEscala);
    else
        escala=escala+deltaEscala;
    end
end
X=[ones(numeroEscalas,1) log(escalas)];
Y=0.5*log(sigma2MA);
[B,Bint] = regress(Y,X);
Hdma=B(2);
desvio=Bint(2,2)-B(2);

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