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Qual é a aplicação de operadores ortogonais nas ciências econômicas?

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perguntada Mar 9, 2016 em Economia por Ruan Valente Staffuz (11 pontos)  
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1 Resposta

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respondida Mar 10, 2016 por danielcajueiro (5,376 pontos)  
selecionada Mar 15, 2016 por Ruan Valente Staffuz
 
Melhor resposta

Matrizes ortogonais (operadores ortogonais) são matrizes que \(A^{-1}=A^T\). Um caso particularmente importante das matrizes ortogonais são aquelas conhecidas como matrizes de rotação (acredito que essa resposta, pode te ajudar a ganhar intuição sobre matrizes de rotação). Eu vejo um link dessas matrizes com economia possivelmente através da estatística ou econometria. Um caso especialmente importante é a decomposição da variância, onde pode-se mostrar que toda matriz de covariância \(\Sigma\) pode ser escrita da seguinte forma

\[\Sigma=RSISR^{-1}=RSSR^{-1}\]

onde \(I\) é a matriz identidade, \(R\) é uma matriz de rotação (um caso particular de uma matriz ortogonal) e \(S\) uma matriz de escala. Considere por exemplo um vetor de variáveis aleatórias... De uma forma geral, podemos afirmar que essa matriz é positiva definida. Se todas as variáveis tiverem a mesma "importância" e não forem correlacionadas entre si, a matriz de covariância é exatamente igual a identidade (se esse vetor representar o erro de um modelo, normalmente nos referimos a ele como erro esférico). Em geral isso não ocorre, mas podemos decompor essa matriz de acordo com a equação apresentada acima. A matriz \(S\) é responsável para representar a escala (tamanho ou importância de uma das coordenadas do vetor). Por outro lado, a matriz \(R\) é responsável por "rodar" a direção da matriz identidade fazendo com que essas variáveis se tornem correlacionadas nos eixos principais.

Acho que o entendimento de Análise dos componentes principais também ajuda na intuição.

Essas idéias aparecem também em muitas aplicações em finanças por causa da sua utilidade para modelar séries temporais. Veja por exemplo Market Risk Analysis, Practical Financial Econometrics - Carol Alexander

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