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Princípio da ação mínima e a equação de euler-lagrange

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perguntada Mar 19, 2016 em Matemática por Lucas (41 pontos)  

Estou tentando entender a equação de Euler-Lagrange mas não estou tendo muito sucesso.
Se o meu intuito é achar a menor distancia entre dois pontos, o L = integral{f(y, dy/dt, t)} me dá a equação da reta entre esses dois pontos?

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1 Resposta

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respondida Mar 18, 2017 por marcelo_papini (306 pontos)  

A equação de Euler-Lagrange permite que determinemos curvas, situadas em uma região simplesmente conexa do plano euclidiano, que extremizam a restrição ao terno \((x, y(x), (dy/dx) )\) de uma função \(F(x, y, z)\), da segunda classe de diferenciabilidade (isto é, de uma função que admite derivadas parciais da segunda ordem que sejam contínuas).

Para empregarmos a equação de Euler-Lagrange ao problema da determinação das curvas planares que minimizam a distância entre dois pontos \((a, b)\) e \((c, d)\) de uma região simplesmente conexa, consideramos uma curva descrita como o gráfico da função \(y = f(x)\) e exigimos que o seu comprimento seja mínimo. A exigência de que \(y\) seja função de \(x\) impede que \(a = c\). Por princípio, deve ser \(a \lt c\).

No caso do problema vertente, a função que queremos minimizar é \(1 + (dy/dx)^2\), que será considerada como a restrição de \(F(x, y, z) = 1 + z^2\) ao terno \((x, y(x), (dy/dx) )\).

A equação de Euler-Lagrange, \((d/dx)\frac{\partial f}{\partial z} = \frac{\partial f}{\partial y}\) fornece \((d/dx)(2z) = 0\), cuja restrição ao citado terno é \((d/dx){2(dy/dx)} = 0\).

Integrando (na variável \(x\)), obtemos \(2(dy/dx) = A\). Integrando uma segunda vez, obtemos \(2y = Ax + B\), que é a equação de uma reta (no plano \(z = 0\)). As condições de contorno (isto é, as coordenadas dos pontos considerados) nos permitem determinar as constantes \(A\) e \(B\).

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