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Como faço para determinar se as seguintes funções são quase-côncavas, quase-convexas, ambos ou nenhuma das duas?

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perguntada Abr 23, 2016 em Matemática por Cristiane Gea (6 pontos)  

Como determinar se as funções de R são quase-côncava, quase-convexas, ambos ou nenhuma das duas:
(a) e^x
(b) ln x
(c) (x^3) + x
(d) (x^3) - x
(e) (x^4) - (x^2)
(f) (x^4) + (x^2)
(g) 3(x^3) + 5(x^2) + 7x
(h) sen x

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1 Resposta

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respondida Abr 23, 2016 por danielcajueiro (5,786 pontos)  

Para os casos de funções em \(\Re\) o ideal é entender bem as definições e a partir do comportamento gráfico das funções concluir se a função tem a propriedade desejada ou não. Para os casos de funções no \(\Re^n\) tem um exemplo aqui usando derivadas (imagino que não é isso que você está buscando).

Uma função \(f: \Re\rightarrow \Re\) definida em um subconjunto convexo \(U\) de \(\Re\) é dita ser convexa se para todo \(x,y\in U\) temos \(f(\lambda x + (1-\lambda)y)\le \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y)\).

Uma função \(f: \Re\rightarrow \Re\) definida em um subconjunto convexo \(U\) de \(\Re\) é dita ser concava se para todo \(x,y\in U\) temos \(f(\lambda x + (1-\lambda)y)\ge \lambda f(x) + (1-\lambda) f(y)\).

Para o caso de funções côncavas e convexas é fundamental entender as desigualdades acima. Vamos considerar o caso da definição da função convexa. O lado esquerdo considera o valor da função no ponto médio ponderado (por \(t\)) do domínio. O lado direito considera o ponto médio do seguimento de reta formado pelos valores das funções. Logo, a função é convexa se o valor da função nos pontos médios ficar sempre abaixo do seguimento de reta formado pelos valores das funções.

Uma função \(f: \Re\rightarrow \Re\) definida em um subconjunto convexo \(U\) de \(\Re\) é dita ser quase-convexa se para todo número real \(a\), o conjunto

\[\{x\in U:\; f(x)\le a\}\]

é um conjunto convexo.

Uma função \(f: \Re\rightarrow \Re\) definida em um subconjunto convexo \(U\) de \(\Re\) é dita ser quase-concava se para todo número real \(a\), o conjunto

\[\{x\in U:\; f(x)\ge a\}\]

é um conjunto convexo.

Para o caso de funções quase-côncavas e quase-convexas é fundamental entender os conjuntos formados pelas restrições aos valores das funções... Estamos especiamente interessados em saber se os conjuntos formados são convexos.

É fácil mostrar usando essas definições que toda função côncava (convexa) é quase-côncava (quase-convexa).

Receita:

1) Construa o gráfico da função;

2) Escolha dois pontos do gráfico da função e trace o seguimento de reta que liga esses dois pontos.

3) Veja se esse seguimento está acima ou abaixo da função. Veja se esse comportamento se mantem para quaisquer dois pontos. Em caso positivo, se o seguimento estiver acima, a função é convexa (por exemplo, exp(x)). Em caso contrário, a função é concava (por exemplo, log x).

Veja a figura abaixo e conclua que a função nessa figura é convexa:

A imagem será apresentada aqui.

A mesma receita acima é válida para testar se uma função é quase-côncava ou quase-convexa.

Apenas substitua o ítem (3) acima por

3) Escolha um ponto da imagem da função e verifique se os pontos da função que estão acima (ou abaixo) formam um conjunto convexo. Veja a figura abaixo testando para quase-convexidade (note que o intervalo formado no domínio é convexo):

A imagem será apresentada aqui.

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