Intersecção de subespaços gerados por autovetores

Question

Seja \(V_A\) o subespaço gerado pelos autovetores de uma matriz \(A\) e \(V_B\) o subespaço
gerado pelos autovetores de uma matriz \(B\) [ambas de mesma ordem \(n\)].

1) Então, pode-se dizer que \(V_A \cap V_B\subseteq V_{\alpha A + \beta B}\), onde \(V_{\alpha A + \beta B}\) é o subespaço gerado pelos autovetores de \(\alpha A + \beta B\)?

2) Então, pode-se dizer que \(V_A \cap V_B\subseteq V_{AB}\), onde \(V_{AB}\) é o subespaço gerado pelos autovetores de \(AB\)?

Answer 1

A resposta é SIM para ambos os casos.

Suponha que \(v\) é autovetor de \(A\) e \(B\).

1) (\(\alpha A + \beta B)v=\alpha A v + \beta B v=\alpha \lambda_A v + \beta \lambda_B v= (\alpha \lambda_A + \beta \lambda_B)v\)

2) \((AB)v=A(Bv)=A\lambda_b v=\lambda_B Av= \lambda_A \lambda_B v\)