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Duas matrizes que são simultaneamente diagonalizáveis comutam no produto?

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perguntada Mai 5, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,821 pontos)  

Duas matrizes \(A\) e \(B\) são ditas simultaneamente diagonalizáveis se existe uma matriz \(M\) tal que \(MAM^{-1}\) e \(MBM^{-1}\) são ambas matrizes diagonais. Logo, se duas matrizes \(A\) e \(B\) são simultaneamente diagonalizáveis, então \(AB=BA\)?

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1 Resposta

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respondida Mai 5, 2016 por danielcajueiro (5,821 pontos)  

SIM!

Suponha que \(D_A= M A M^{-1}\) e \(D_B= M B M^{-1}\).

Ou seja, \(A=M^{-1} D_A M \) e \(B=M^{-1} D_B M \).

Logo, \(AB=M^{-1} D_A M M^{-1} D_B M=M^{-1} D_A D_B M=\) \( M^{-1} D_B D_A M=M^{-1} D_B M M^{-1} D_A M=BA\).

comentou Set 30, 2018 por Thales Godoy (1 ponto)  
Boa noite, professor. Seria correto considerar que  DA = MAM^-1 = IA, consequentemente, para que DA possa ser uma matriz diagonal, necessariamente A também precisa ser uma matriz diagonal? Fazendo uma analogia com o caso B, e tendo em vista que ambas as matrizes são, assim, diagonais, posso afirmar que AB = BA, já que matrizes diagonais comutam?
comentou Set 30, 2018 por danielcajueiro (5,821 pontos)  
A equação que vc escreveu está errada. Olhe a solução para perceber que não é consistente com ela.
comentou Mai 2, 2019 por Rebeca Gontijo (1 ponto)  
Por que é possível saber que A=M−1DaM e B=M-1DbM?
comentou Set 4, 2019 por Nadla (1 ponto)  
Para saber que A=M^-1DaM e B=M^-1DbM você deve partir do enunciado que uma matriz diagonal (vamos chamar de Da) é M.AM^-1 e uma outra matriz diagonal (Db) seria M.B.M^1.

Em seguida você multiplica pela ESQUERDA por M^-1
M^-1Da=M^-1MAM^-1 (é importante lembrar que M^-1M = I)
Então, ficaria:
M^-1Da=AM^-1
Agora você multiplica pela DIREITA por M
M^-1DaM=AM^-1M
Usando a mesma propriedade que M^-1M=I, fica:
M^-1DaM=A

Depois é só repetir a mesma coisa pra ver para ver que M^-1DbM=B

Em seguida é só seguir a resposta do professor e multiplicar o AB
comentou Set 23, 2019 por Rodrigo Plácido (1 ponto)  
Na seguinte igualdade,

M^−1.Da.Db.M=  M^−1.Db.Da.M

O Da comuta com Db por ambas serem matrizes diagonais. Certo?

* Sim, acabei de verificar o outro comentário.
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