Primeira vez aqui? Seja bem vindo e cheque o FAQ!
x

Duas matrizes que são simultaneamente diagonalizáveis comutam no produto?

0 votos
386 visitas
perguntada Mai 5, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,251 pontos)  

Duas matrizes \(A\) e \(B\) são ditas simultaneamente diagonalizáveis se existe uma matriz \(M\) tal que \(MAM^{-1}\) e \(MBM^{-1}\) são ambas matrizes diagonais. Logo, se duas matrizes \(A\) e \(B\) são simultaneamente diagonalizáveis, então \(AB=BA\)?

Compartilhe

1 Resposta

0 votos
respondida Mai 5, 2016 por danielcajueiro (5,251 pontos)  

SIM!

Suponha que \(D_A= M A M^{-1}\) e \(D_B= M B M^{-1}\).

Ou seja, \(A=M^{-1} D_A M \) e \(B=M^{-1} D_B M \).

Logo, \(AB=M^{-1} D_A M M^{-1} D_B M=M^{-1} D_A D_B M=\) \( M^{-1} D_B D_A M=M^{-1} D_B M M^{-1} D_A M=BA\).

comentou Mar 25, 2017 por Rodrigo Pimentel (1 ponto)  
editado Mar 26, 2017 por danielcajueiro
Professor, não entendi o passo do cálculo \(M^{−1}D_AD_BM = M^{−1}D_BD_AM\). Isso quer dizer que \(D_aD_b\) é igual a \(D_bD_a\)? Por quê?
comentou Mar 26, 2017 por danielcajueiro (5,251 pontos)  
Lembre que duas matrizes diagonais sempre comutam! Faça o teste! Escreva duas matrizes diagonais genéricas de mesma ordem para notar que o produto é uma matriz diagonal \(c_{ii}=a_{ii}b_{ii}=b_{ii}a_{ii}=c_{ii}\).
comentou Jun 19, 2017 por Fabiano (1 ponto)  
Professor, a operação que tornou \(M^{-1}D_AMM^{-1}D_BM\) em \(M^{-1}D_AD_BM\) simplesmente anulou a transformação que seria realizada por \(MM^{-1}\)?
comentou Jun 19, 2017 por danielcajueiro (5,251 pontos)  
Lembre que qualquer matriz multiplicada por sua inversa leva a identidade.
...