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Duas matrizes que são simultaneamente diagonalizáveis comutam no produto?

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perguntada Mai 5, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,376 pontos)  

Duas matrizes \(A\) e \(B\) são ditas simultaneamente diagonalizáveis se existe uma matriz \(M\) tal que \(MAM^{-1}\) e \(MBM^{-1}\) são ambas matrizes diagonais. Logo, se duas matrizes \(A\) e \(B\) são simultaneamente diagonalizáveis, então \(AB=BA\)?

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1 Resposta

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respondida Mai 5, 2016 por danielcajueiro (5,376 pontos)  

SIM!

Suponha que \(D_A= M A M^{-1}\) e \(D_B= M B M^{-1}\).

Ou seja, \(A=M^{-1} D_A M \) e \(B=M^{-1} D_B M \).

Logo, \(AB=M^{-1} D_A M M^{-1} D_B M=M^{-1} D_A D_B M=\) \( M^{-1} D_B D_A M=M^{-1} D_B M M^{-1} D_A M=BA\).

comentou Mar 25, 2017 por Rodrigo Pimentel (1 ponto)  
editado Mar 26, 2017 por danielcajueiro
Professor, não entendi o passo do cálculo \(M^{−1}D_AD_BM = M^{−1}D_BD_AM\). Isso quer dizer que \(D_aD_b\) é igual a \(D_bD_a\)? Por quê?
comentou Mar 26, 2017 por danielcajueiro (5,376 pontos)  
Lembre que duas matrizes diagonais sempre comutam! Faça o teste! Escreva duas matrizes diagonais genéricas de mesma ordem para notar que o produto é uma matriz diagonal \(c_{ii}=a_{ii}b_{ii}=b_{ii}a_{ii}=c_{ii}\).
comentou Jun 19, 2017 por Fabiano (1 ponto)  
Professor, a operação que tornou \(M^{-1}D_AMM^{-1}D_BM\) em \(M^{-1}D_AD_BM\) simplesmente anulou a transformação que seria realizada por \(MM^{-1}\)?
comentou Jun 19, 2017 por danielcajueiro (5,376 pontos)  
Lembre que qualquer matriz multiplicada por sua inversa leva a identidade.
comentou Set 2 por Kenneth Dele (1 ponto)  
professor  aceitaria que eu prove diretamente assim :   AB = MAM−1MBM−1 = MABM−1 = MBAM−1 = MBM−1MAM−1 = BA    ?
comentou Set 2 por danielcajueiro (5,376 pontos)  
Vc está supondo que AB comutam para provar que AB comutam. Faz sentido?
comentou Set 30 por Thales Godoy (1 ponto)  
Boa noite, professor. Seria correto considerar que  DA = MAM^-1 = IA, consequentemente, para que DA possa ser uma matriz diagonal, necessariamente A também precisa ser uma matriz diagonal? Fazendo uma analogia com o caso B, e tendo em vista que ambas as matrizes são, assim, diagonais, posso afirmar que AB = BA, já que matrizes diagonais comutam?
comentou Set 30 por danielcajueiro (5,376 pontos)  
A equação que vc escreveu está errada. Olhe a solução para perceber que não é consistente com ela.
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