Imagem e núcleo de operadores lineares formados por uma matriz e sua transposta

Question

Seja \(A\) uma matriz de ordem \(n\) e \(A^\prime\) sua transposta:

1) Sejam \(S(x)=Ax\) e \(T(x)=A^{\prime}x\) operadores lineares. Logo, pode-se dizer que se \(u \in \mathcal{I}(S)\) e \(v\in \mathcal{N}(T)\) então \(u\) e \(v\) são ortogonais?

2) Seja \(S(x)=A^{\prime}x\) e \(T(x)=AA^{\prime}x\) operadores lineares. Logo, pode-se dizer que \(\mathcal{N}(T)=\mathcal{N}(S)\)?

Answer 1

SIM!

1)

Se \(u\in \mathcal{I}(S)\), então \(\exists x\) tal que \(Ax=u\).

Se \(v\in \mathcal{N}(T)\), então \(A^\prime v = 0\).

Logo, \(u\cdot v=u^\prime v=(Ax)^\prime v =x^\prime A^\prime v = 0\)

2)

Suponha que \(u\in \mathcal{N}(S)\). Então \(A^\prime u=0\), ou seja, \(AA^\prime u=0\), que implica que \(u \in \mathcal{N}(T)\).

Suponha agora que \(u\in \mathcal{N}(T)\). Então \(AA^\prime u=0\), ou seja, \(u^\prime AA^\prime u=0\), que implica que \(||A^\prime u||=0\) e, portanto, \(A^\prime u=0\). Logo, \(u\in \mathcal{N}(S)\)