Note que esse determinante é um caso particular do determinante calculado aqui.
Logo, as mesmas operações linha elementares usadas nesse outro determinante podem ser usadas para responder essa pergunta. De fato, fazendo \(a=\frac{2}{n}-1=\frac{2-n}{n}\) e \(b=\frac{2}{n}\), nós temos que \(|A|=(a+(n-1)b)\times (a-b)^{n-1}=(1) \times (-1)^{n-1}=(-1)^{n-1}\)