Como calcular o determinante abaixo?

Question

Seja \(A=[a_{ij}]\) uma matriz de ordem \(n\) construída da seguinte forma:

\[ a_{ij}=\dfrac{2}{n}-\delta_{ij},\]

onde \(\delta_{ij}=1\) quando \(i=j\) e \(\delta_{ij}=0\) em caso contrário.

Answer 1

Note que esse determinante é um caso particular do determinante calculado aqui.

Logo, as mesmas operações linha elementares usadas nesse outro determinante podem ser usadas para responder essa pergunta. De fato, fazendo \(a=\frac{2}{n}-1=\frac{2-n}{n}\) e \(b=\frac{2}{n}\), nós temos que \(|A|=(a+(n-1)b)\times (a-b)^{n-1}=(1) \times (-1)^{n-1}=(-1)^{n-1}\)

Comments

Professor, no meu cálculo a resposta deu (-1)^n-1, confere?

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Sim! Veja resposta editada acima.