Subespaço de matrizes que comutam com uma matriz de ordem 2

Question

Seja \(V\) o conjunto de matrizes de ordem 2 que comutam com a matriz
\[A=\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ \end{array}\right].\]

Pergunta-se:

a) \(V\) é um subespaço de \(M_{22}\)?

Se (a) for verdadeiro:

b) Apresente uma base para esse subespaço.

c) Qual a dimensão desse subespaço?

Answer 1

a) Suponha que existam \(B_1\) e \(B_2\) tal que \(AB_1=B_1 A\) e \(AB_2=B_2 A\).

Logo, \((\alpha B_1 + B_2) A=\alpha B_1 A + B_2 A = \alpha AB_1 + AB_2 = A(\alpha B_1 + B_2)\).

b)

\[\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ \end{array}\right] = \left[\begin{array}{cc} 0 & 1 \\ 2 & 0 \\ \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc} a & b \\ c & d \\ \end{array}\right] \]

que implica que \(2b=c\) e \(a=d\).

Logo, todas as matrizes da forma \[\left[\begin{array}{cc} a & b \\ 2b & a \\ \end{array}\right]\] comutam com a matriz dada. Logo, uma base é dada pelos vetores \(\left[\begin{array}{cc}
1 & 0 \\
0 & 1 \\
\end{array}\right]\) e \(\left[\begin{array}{cc}
0 & 1 \\
2 & 0 \\
\end{array}\right]\).

c) A dimensão é 2.

Comments

Professor,

               Acredito que exista um erro na segunda linha, em:

               Logo, (αB1A+B2)A=αB1A+B2A=αAB1+AB2=A(αB1+B2).

               Onde, antes da primeira igualdade, já é colocada a matriz "A" multiplicando "aB1".

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Olá Professor,

Se tomarmos a matriz genérica "B" de sua resolução e definirmos a=0 e b=1, não formamos um conjunto de matrizes LD? Assim, não podemos generalizar o ocorrido e dizer que o conjunto V de matrizes não pode ser um subespaço das matrizes 2x2?