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Qual a diferença entre uma matriz indefinida e uma que não é definida?

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perguntada Mai 17, 2016 em Matemática por Raíssa (656 pontos)  

No capítulo 16 do livro do Simon e do Blume 'Matemática para economistas', os autores no exemplo 16. 3 citam matrizes indefinidas e as que não são definidas. Qual é a diferença entre elas? Em ambas eu terei um ponto de sela? Isso está relacionado com as CPO's que eu achar do problema de otimização sem restrição?

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1 Resposta

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respondida Mai 18, 2016 por danielcajueiro (5,666 pontos)  

As definições comuns estão na Seção 16.2 do livro do Simon-Blume (mathematics for economists):

1) Matrizes definidas (negativas ou positivas)

2) Matrizes semi-definidas (negativas ou positivas):

3) Matrizes indefinidas:

Pela definição, matrizes definidas são casos particulares das semidefinidas. Logo, sim! Existem matrizes que não são indefinidas nem definidas. Um exemplo particular é

\[\left[\begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & 0 \\ \end{array}\right]\]

Note que essa matriz é semipositiva definida [Ela não é definida nem indefinida].

Em relação a otimização um teorema (na minha versão é o 17.2) diz que se a hessiana for indefinida em um ponto \(x^\star\) então \(x^\star\) não é ponto de máximo ou mínimo.

O mesmo não ocorre com matrizes semi-definidas. Quando a hessiana é semi-definida, nada podemos afirmar (usando esse tipo de teste) sobre a existência de ponto de máximo ou mínimo. Compare por exemplo as funções

\[f_1(x,y)=x^4+y^4\]
\[f_2(x,y)=x^4-y^4\]

\((x^\star,y^\star)=(0,0)\) é ponto de mínimo de \(f_1\) e ponto de sela \(f_2\). Em ambos os casos a matriz hessiana é a matriz nula e portante semi-definida (positiva e negativa).

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