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A função inversa de uma função estritamente crescente e estritamente maior que zero é maior que essa função?

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perguntada Jun 15, 2016 em Matemática por Lorena (141 pontos)  
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comentou Jun 17, 2016 por danielcajueiro (5,376 pontos)  
Use o fato que a função é estritamente crescente \(x_1\gt x_2\Rightarrow y_1\gt y_2\) e o fato que para uma função possuir inversa ela precisa ser bijetora. Isso parece homework, logo não parece correto dar uma resposta direta aqui.

1 Resposta

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respondida Jun 25, 2016 por Pedro Meiners (46 pontos)  

Lorena, sua pergunta esta um pouco incompleta mas por razões triviais (é um exercicio de Micro 1 que estamos fazendo em grupo) eu sei que você esta querendo resolver o problema 3.5 do livro Advanced Microeconomic Theory dos autores Geoffrey A. Jehle & Philip J. Reny, que diz o seguinte:

"Suppose that F is a homothetic function so that it can be written as F(x) = f(g(x)), where f is strictly increasing, and g is homogeneous of degree one. Show that if the image of F is all of R+, f −1(y) > 0 for all y > 0."

0.Como uma função Homotetica é uma transformação monótona de uma função homogenea, temos que se f é estritamente crescente g tambem o será.

1.Se F(g(x)) é estritamente crescente sabemos que:
para um a > b, logo teremos F(a) > F(b) .
logo para x>0 teremos F(x)>F(0)
2. Se a imagem de F(x) então inteiramente em R+,
então para qualquer valor de x em F(x) teremos F(x) não negativo,
ou seja F(x)≥0.
3.Como F(x) é bijetora, pois é inversível, para cada valor F(x) teremos apenas um x, então para x=0 encontramos um único valor F(x).
4.Sabendo que g(x) é homogênea, temos que g(x) cruza à origem pois apenas funções que possuam coeficiente linear igual a 0 (ou seja, em ax+b, b=0) podem ser homogêneas. Logo se g(x) cruza a origem g(0)=0.

Prova:
F(g(x)) = y
  g(x) = F-1(y)
Já que para x>0, g(x)>0 então F(g(x)) > F(0) e F(0)≥0 pois está definida no R+, e F(0) tem uma única raiz porque é bijetora, logo para x>0 teremos y>0. Então:
Para todo y>0 teremos F-1(y)=g(x) onde g(x)>0 logo,
Para todo y>0 teremos F-1(y)>0.

(Na prova para o exercício de micro 1 do Professor José Guilherme podíamos afirmar que F(0)=0, pelo presuporto da inação pois F era uma função produção, então dai o resultado seria um pouco mais direto.)

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