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Ache os pontos críticos de f(x, y) = e^(x+y) + e^(x−y) − (3/2) x − (1/2) y. Eles são de máximo, mínimo ou de sela?

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perguntada Jun 18, 2016 em Economia por Bruna Paggiaro (1 ponto)  
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1 Resposta

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respondida Jun 19, 2016 por danielcajueiro (5,306 pontos)  

Vou seguir o procedimento apresentado nessa resposta.

1) Derive a função em relação a todas as coordenadas e iguale essas derivadas a zero:

\(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=e^x e^y +\frac{e^x}{e^y}-3/2=0\), \(\frac{\partial f}{\partial y}=e^x e^y -\frac{e^x}{e^y}-1/2=0\)

2) Encontre as soluções do sistema de equações:

Não é tão trivial achar a solução. Mas note que ela existe. Faça as seguintes substituições:

\[a=e^x e^y \]

\[b=\frac{e^x}{e^y}\]

Usando o sistema de equações acima, é fácil perceber que podemos concluir que \(a=1\) e \(b=1/2\).

Logo, podemos concluir que

\[a=e^x e^y=e^{x+y}\Rightarrow x+y=\log{a}\]

\[b=\frac{e^x}{e^y}=e^{x-y}\Rightarrow x-y=\log{b}\]

Ou seja, existe solução para \(x\) e \(y\). Elas são dadas por

\[x=\frac{\log{a} + \log{b}}{2}\]

e

\[y=\frac{\log{a} - \log{b}}{2}\]

3) Calcule a matriz de segundas derivadas da função:

\[H=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\left[\begin{array}{cc} e^x e^y +\frac{e^x}{e^y} & e^x e^y -\frac{e^x}{e^y} \\ e^x e^y -\frac{e^x}{e^y} & e^x e^y +\frac{e^x}{e^y}\end{array} \right]\]

4) Substitua o ponto encontrado no ítem (2) na matriz hessiana encontrada em (3) e teste para cada caso se a matriz é positiva definida, negativa definida ou indefinida.

\[H=\left[\begin{array}{cc} 3/2 & 1/2 \\ 1/2 & 3/2\end{array} \right]\]

com

\(|H_1|=3/2\)

\(|H_2|=2\)

que é um ponto de mínimo.

comentou Nov 21, 2016 por Nicolas (1 ponto)  
o ponto de minimo seria F( ?,?) igual a quanto? o valor de x e y não vai ter importância? porque a gente levou em consideração a substituição proposta.
comentou Nov 24, 2017 por maria luiza (1 ponto)  
professor, nos meus cálculos está dando a=1 e b=1/2, pode conferir os cálculos?
comentou Nov 26, 2017 por danielcajueiro (5,306 pontos)  
Corrigido! Obrigado!
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