Vou seguir o procedimento apresentado nessa resposta.
1) Derive a função em relação a todas as coordenadas e iguale essas derivadas a zero:
\(\frac{\partial f(x,y)}{\partial x}=e^x e^y +\frac{e^x}{e^y}-3/2=0\), \(\frac{\partial f}{\partial y}=e^x e^y -\frac{e^x}{e^y}-1/2=0\)
2) Encontre as soluções do sistema de equações:
Não é tão trivial achar a solução. Mas note que ela existe. Faça as seguintes substituições:
\[a=e^x e^y \]
\[b=\frac{e^x}{e^y}\]
Usando o sistema de equações acima, é fácil perceber que podemos concluir que \(a=1\) e \(b=1/2\).
Logo, podemos concluir que
\[a=e^x e^y=e^{x+y}\Rightarrow x+y=\log{a}\]
\[b=\frac{e^x}{e^y}=e^{x-y}\Rightarrow x-y=\log{b}\]
Ou seja, existe solução para \(x\) e \(y\). Elas são dadas por
\[x=\frac{\log{a} + \log{b}}{2}\]
e
\[y=\frac{\log{a} - \log{b}}{2}\]
3) Calcule a matriz de segundas derivadas da função:
\[H=\frac{\partial^2 f}{\partial x^2}=\left[\begin{array}{cc} e^x e^y +\frac{e^x}{e^y} & e^x e^y -\frac{e^x}{e^y} \\ e^x e^y -\frac{e^x}{e^y} & e^x e^y +\frac{e^x}{e^y}\end{array} \right]\]
4) Substitua o ponto encontrado no ítem (2) na matriz hessiana encontrada em (3) e teste para cada caso se a matriz é positiva definida, negativa definida ou indefinida.
\[H=\left[\begin{array}{cc} 3/2 & 1/2 \\ 1/2 & 3/2\end{array} \right]\]
com
\(|H_1|=3/2\)
\(|H_2|=2\)
que é um ponto de mínimo.