Eu mesmo vou fazer uma resposta tentativa na área de economia. Alguns outros colegas depois podem acrescentar mais informação, por exemplo, através de comentários.
1) O Teorema do Ponto Fixo de Brower é usado para provar a existência de equilíbrio de Nash em teoria de jogos.
2) O Teorema de Karush–Kuhn–Tucker é usado para resolver problemas de otimização com restrição de desigualdade enfrentados por exemplo consumidores e empresas.
3) Teorema da Projeção em Espaços de Hilbert garante a existência de solução por exemplo para o estimador de mínimos quadrados ordinários utilizado em econometria.
4) Teorema de Weierstrass garante a existência de pontos de máximo e mínimo de funções contínuas restritas a conjuntos compactos em problemas de otimização de consumidores e empresas.
5) O Teorema do Ponto Fixo de Banach é fundamental para garantir a existência de solução para o problema de programação dinâmica muito usado em Macroeconomia Neoclássica.
Eu ainda diria que esse pode ser caminho para entender teoria econômica. Se o estudante seguir os passos necessários em matemática para entender esses teoremas, ficará muito mais fácil para ele entender profundamente teoria econômica.