Usaremos as notações usadas nos slides do Professor Daniel Cajueiro, herdadas do livro Principles of Financial Economics - Stephen F. LeRoy and Jan Werner.
Um estado \(s\) é segurável se e só se existe uma carteira \(h_s\) tal que \(Xh_s = e_s\), onde \(X\) é a matriz dos payoffs e \(e_s\) é o respectivo vetor da base canônica.
(a) Por definição, o mercado é completo se e só se, para todo vetor de payoff \(z\), existe uma carteira \(h\) que é solução da equação \(Xh = z\) . Portanto se o mercado é completo, todos os estados são seguráveis.
Por outro lado, se todos os estados são seguráveis, o mercado é completo. De fato, nesse caso, todo vetor \(e_s\) pode ser escrito como \(e_s = Xh_s\), para alguma carteira \(h_s\), de modo que \(e_s \in \mathcal{M}\), para todo estado \(s\). Isso implica que o subespaço \(\mathcal{M}\) é o espaço \(\mathbb{R}^S\) todo, mostrando que o mercado é completo.
(b) No item (a), mostramos que o mercado é completo se e só se todos os estados são seguráveis. Logo, se o mercado é incompleto, nem todo estado é segurável. A condição necessária e suficiente para que um estado \(s\) seja segurável é que \(e_s \in \mathcal{M}\) .