Primeira vez aqui? Seja bem vindo e cheque o FAQ!
x

Quando um estado é segurável em um mercado?

+2 votos
170 visitas
perguntada Ago 25, 2016 em Finanças por Mauro Patrão (71 pontos)  

Se é possível construir uma carteira que possui payoff não
nulo em apenas um estado, então se diz que esse estado é
segurável. Esse termo é usado pois é possível criar um seguro
contra a ocorrência desse estado.

(a) Assuma que o mercado é completo. Todos os estados são
seguráveis? Em caso contrário, quais são as condições para que
um estado seja segurável?

(b) Assuma que o mercado é incompleto. Todos os estados são
seguráveis? Em caso contrário, quais são as condições para que
um estado seja segurável?

Compartilhe

1 Resposta

+2 votos
respondida Ago 25, 2016 por Mauro Patrão (71 pontos)  

Usaremos as notações usadas nos slides do Professor Daniel Cajueiro, herdadas do livro Principles of Financial Economics - Stephen F. LeRoy and Jan Werner.

Um estado \(s\) é segurável se e só se existe uma carteira \(h_s\) tal que \(Xh_s = e_s\), onde \(X\) é a matriz dos payoffs e \(e_s\) é o respectivo vetor da base canônica.

(a) Por definição, o mercado é completo se e só se, para todo vetor de payoff \(z\), existe uma carteira \(h\) que é solução da equação \(Xh = z\) . Portanto se o mercado é completo, todos os estados são seguráveis.

Por outro lado, se todos os estados são seguráveis, o mercado é completo. De fato, nesse caso, todo vetor \(e_s\) pode ser escrito como \(e_s = Xh_s\), para alguma carteira \(h_s\), de modo que \(e_s \in \mathcal{M}\), para todo estado \(s\). Isso implica que o subespaço \(\mathcal{M}\) é o espaço \(\mathbb{R}^S\) todo, mostrando que o mercado é completo.

(b) No item (a), mostramos que o mercado é completo se e só se todos os estados são seguráveis. Logo, se o mercado é incompleto, nem todo estado é segurável. A condição necessária e suficiente para que um estado \(s\) seja segurável é que \(e_s \in \mathcal{M}\) .

comentou Set 21, 2016 por Saulo (436 pontos)  
Muito bom! Esclarecedor!
comentou Dez 7, 2016 por Saulo (436 pontos)  
A solução está correta.

Para curiosidade, acrescento que o termo "estado segurável" é devido ao fato de que a carteira pode fornecer um seguro contra a ocorrência do estado.

A definição colocada na questão, bem como uma outra solução (usando os conceitos de independência linear e o posto da matriz X), pode ser obtida no livro "Theory of Financial Decision Making", de Jonathan E. Ingersoll, na seção "2.4 - Insurable States".
...