Como o mercado é incompleto, pois temos 2 ativos e 3 estados (J=2 e S=3), devemos definir um ativo contingente cujo payoff não seja combinação linear dos payoffs de X1 e X2.
Definimos, portanto:
\( \mathscr{M} = span\{ (10, −20, 60), (20, 30, 10) \} \)
\( \hat{z} = (0, 0, 1), \hat{z}\notin \mathscr{M} \)
Definimos o conjunto abaixo como subespaço de \(R^s\)
\( \mathscr{N} = \{z + \lambda\hat{z}: z \in \mathscr{M} , \lambda \in R \} \)
Nosso objetivo é estender o funcional de apreçamento de payoffs. Para isso, devemos encontrar os limites superiores e inferiores para o ativo \( \hat{z}\).
\( q_u=min_{h}\{ph : Xh \geq \hat{z}\} \)
\( q_l=max_{h}\{ph : Xh \leq \hat{z}\} \)
Ou seja:
\[ q_u=min_{h}\{p_1h_1 + p_2h_2 : \begin{pmatrix}10 & 20 \\ -20 & 30 \\ 60 & 10\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}h_1 \\ h_2 \end{pmatrix} \geq \begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 1\end{pmatrix}\} \]
\[ q_l=max_{h}\{p_1h_1 + p_2h_2 : \begin{pmatrix}10 & 20 \\ -20 & 30 \\ 60 & 10\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}h_1 \\ h_2 \end{pmatrix} \leq \begin{pmatrix}0 \\ 0\\ 1\end{pmatrix}\} \]
Antes de resolver os problemas acima, como não temos os preços \(p_1\) e \(p_2\), vamos encontrar uma relação entre eles que indique a presença (ou ausência) de arbitragem.
Quando há arbitragem, deveremos ter \(Xh \geq 0 \) e \(ph \leq 0 \), com pelo menos uma desigualdade estrita.
Resolveremos, portanto, o seguinte sistema, lembrando que \(p_1\) e \(p_2\) são estritamente positivos:
\[
\begin{cases}
\space 10h_1+20h_2 & \gt 0 \\
\space -20h_1+30h_2 & \gt 0 \\
\space 60h_1+10h_2 & \gt 0 \\
\space p_1h_1+p_2h_2 & \leq 0 \\
\end{cases}
\]
Simplificando, temos:
\[
\begin{cases}
\space h_1 \gt -2h_2\\
\space h_1 \lt \frac{3}{2}h_2 \\
\space h_1 \gt -\frac{1}{6}h_2 \\
\end{cases}
\]
Caso \(h_2 \gt 0 \), \( -2h_2 \lt -\frac{1}{6}h_2 \), então:
\[-\frac{1}{6}h_2 \lt h_1 \lt \frac{3}{2}h_2\]
Caso \(h_2 \leq 0 \), \( -2h_2 \geq -\frac{1}{6}h_2 \), então:
\[-2h_2 \lt h_1 \lt \frac{3}{2}h_2 ~ (Absurdo) \]
Concluímos, portanto, que \(h_2 \gt 0 \) e \( -\frac{1}{6}h_2 \lt h_1 \lt \frac{3}{2}h_2\).
Utilizando a última equação de nosso sistema, \(p_1h_1+p_2h_2 \leq 0\), e lembrando que \(p_1, p_2, h_2 \gt0\):
\[
p_1h_1 + p_2h_2 \leq 0 \implies
p_1h_1 \leq -p_2h_2 \implies
-\frac{p_2}{p_1} \geq \frac{h_1}{h_2}
\]
De onde conclui-se que \(h_1\lt0\), pois \(-\frac{p_2}{p_1}\lt0\).
Com \(h_1\lt0~e~h_2\gt0\), temos:
\[-\frac{1}{6}h_2 \lt h_1 \lt 0 \implies -\frac{h_2}{h_1}\gt6\]
\[ -\frac{p_2}{p_1} \geq \frac{h_1}{h_2} \implies \frac{p_1}{p_2}\geq -\frac{h_2}{h_1} \gt 6 \]
\[p_1\gt6p_2\]
a)
Temos portanto o seguinte conjunto \(P\) representando os preços livres de arbitragem:
\( P = \{(p_1,p_2) \in R_+^*: p_1 \lt 6p_2 \} \)
É fácil verificar que esse conjunto \(P\) é um cone aberto, pois se \((p_1,p_2)\in P\), então temos \( p_1 \lt 6p_2\), o que implica que \( tp_1 \lt 6tp_2, \forall t \in R_+^*\).
Logo, concluímos que \( p \in P \implies tp = (tp_1,tp_2) \in P, \forall t \in R_+^* \)
b)
Para um determinado preço p, podemos encontrar q da seguinte forma:
\( p = X'q \implies q = (XX')^{-1}Xp \)
\[ q = \begin{pmatrix}0.0017544 & 0.0140351 \\ -0.0059649 & 0.0222807\\ 0.0143860 & 0.0050877\end{pmatrix}
. \begin{pmatrix}p_1 \\ p_2\end{pmatrix} \]
Se, por exemplo, escolhemos \(p = (1, 2)\), temos:
\[ q = \begin{pmatrix} q_1 \\ q_2 \\ q_3\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0.029825 \\ 0.038596 \\ 0.024561\end{pmatrix} \]
import numpy as np
from numpy.linalg import pinv
p = np.matrix('1 ; 2')
X = np.matrix('10 20 ; -20 30 ; 60 10')
q = pinv(X*X.T) * X * p
print("q = %r" % q.tolist())
Vamos agora resolver o problema de otimização para \(p=(1,2)\) e \(\hat{z}\):
from scipy.optimize import linprog
import numpy as np
A = [[10, 20], [-20, 30], [60, 10]]
b = [0, 0, 1]
c = [1, 2]
# qu - minimização
res = linprog(c, A_ub=np.negative(A), b_ub=np.negative(b))
print("qu = %f" % res.fun)
# ql - maximização
res = linprog(np.negative(c), A_ub=A, b_ub=b)
print("ql = %f" % res.fun)
Resultado:
\(q_u = 0.035\)
\(q_l = 0\)
Como \(q_u \gt q_l\), confirmamos a não-arbitragem. Além disso, notamos que \(q_u \gt 0.024561 \gt q_l\).
Poderíamos também encontrar q resolvendo o sistema \( p = X'q \).
Como o sistema é indeterminado, fixamos um dos preços de estado.
Por exemplo, podemos fixar \(q_3=\alpha\). Assim, teríamos a seguinte solução:
\[
q_1= \frac{ 3p_1+2p_2-200\alpha}{70} \\
q_2=\frac{-2p_1+p_2+110\alpha}{70} \\
q_3=\alpha
\]
Com as seguintes restrições:
\[
q_1\gt0\implies \alpha\lt \frac{3p_1+2p_2}{200} \\
q_2\gt0\implies \alpha\gt \frac{2p_1-p_2}{110} \\
q_3\gt0\implies \alpha\gt 0
\]
É fácil verificar que para \(p_1=1\) e \(p_2=2\):
- O conjunto restrição de \(\alpha\) (\(0\lt\alpha\lt0.035\)) está de acordo com \(q_u\) e \(q_l\) calculados.
- \(\alpha=0.024561\) respeita as restrições e fornece os mesmos valores calculados para \(q_1\), \(q_2\) e \(q_3\).
É interessante notar que, para que \(\alpha\) exista, devemos ter \(\frac{2p_1-p_2}{110} \lt \frac{3p_1+2p_2}{200}\), o que nos dá exatamente o conjunto P encontrado na alternativa a.
c)
Um vetor de preço que oferece oportunidade de arbitragem é \(p=(7,1)\), pois \(p_1\gt6p_2\).
Quando há arbitragem, deveremos ter \(Xh \geq 0 \) e \(ph \leq 0 \), com pelo menos uma desigualdade estrita.
\(ph\leq0 \implies 7h_1+h_2\leq0 \implies h_1\leq-\frac{1}{7}h_2\)
\[Xh \gt 0 \implies \begin{cases}
\space h_1+2h_2 & \gt0 \\
\space -2h_1+3h_2 & \gt0 \\
\space 6h_1+h_2 & \gt0 \\
\end{cases}\]
Resolvendo as desigualdades, temos:
\(-\frac{1}{6}h_2 \lt h_1 \lt \frac{3}{2}h_2\)
Como já avaliamos anteriormente, temos \( -\frac{1}{6}h_2 \lt h_1 \lt 0 \lt h_2\).
Escolhendo \(h_1 = -\frac{1}{6.1}h_2\), conseguimos mostrar uma carteira que apresenta oportunidade de arbitragem.
Portanto, seja \(p=(7,1) \text{ e } h=(-1,6.1)\), temos:
\[Xh = \begin{pmatrix}10 & 20 \\ -20 & 30 \\ 60 &10\end{pmatrix}.\begin{pmatrix}-1 \\ 6.1 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}112 \\ 203\\ 1\end{pmatrix} \gt 0 \]
\[ph = \begin{pmatrix}7 & 1 \end{pmatrix}.\begin{pmatrix}-1 \\ 6.1 \end{pmatrix} = -0.9 \lt 0\]