(a) Considere \(y, y' \in C\) e também \(t \in (0,1)\). Temos que
\[
c^Ty = c^Ty^\prime = \min \{c^Tx : Ax =b, x \geq 0\}
\]
Segue então que
\[
c^T(ty + (1-t)y^\prime) = tc^Ty + (1-t)c^Ty^\prime = \\ = \min \{c^Tx : Ax =b, x \geq 0\}
\]
mostrando que \(ty + (1-t)y' \in C\) e portanto que \(C\) é um conjunto convexo.
(b) Como \(C\) é o conjunto das soluções do problema linear, se a solução for única, então \(C\) é um conjunto unitário.
(c) Considere \((b,z), (b',z') \in \tilde{C}\) e também \(t \in (0,1)\). Temos que
\[
z = c^Tx, Ax = b, x \geq 0 \\ z^\prime = c^Tx^\prime, Ax^\prime = b^\prime, x^\prime \geq 0
\]
Segue então que
\[
tz + (1-t)z^\prime = c^T(tx + (1-t)x^\prime), \\
A(tx + (1-t)x^\prime) = tb + (1-t)b^\prime, \\
tx + (1-t)x^\prime \geq 0
\]
mostrando que
\[
t(b,z) + (1-t)(b^\prime,z^\prime) = (tb + (1-t)b^\prime, tz + (1-t)z^\prime)) \in \tilde{C}
\]
e portanto que \(\tilde{C}\) é um conjunto convexo.
(d) Esse item segue direto da definição de função convexa e do item anterior, pois é imediato que
\[
\tilde{C} = \{(b,z) : z \geq z(b)\}
\]