Se A=BC, então uma linha de A é uma combinação linear das linhas de C com coeficientes que vem da matriz B?

Question

Seja \(A=BC\) onde \(B\) é uma matriz de ordem \(m\times r\) e \(C\) é uma matriz de ordem \(r\times n\). Então a \(i\)-ésima linha \(A\) é uma combinação linear das \(r\) linhas de \(C\) com coeficientes dados pela \(i\)-ésima linha de \(B\). Se as linhas de \(C\) são independentes, esse resultado implica que as \(r\) linhas de \(C\) formam uma base para o espaço gerado pelas \(m\) linhas de \(A\).

Answer 1

Sim!

Note que \(A_{m\times n}=B_{m\times r} C_{r\times n}\). Logo, um elemento da matriz produto \(A\) pode ser escrito como

\[a_{ij}=\sum_{p=1}^{r}b_{ip}c_{pj}\]

Adicionalmente uma linha inteira de \(A\) pode ser escrita como

\[[a_{i1}\cdots a_{in}]=[\sum_{p=1}^{r}b_{ip}c_{p1}\cdots \sum_{p=1}^{r}b_{ip}c_{pn}]=\]
\[\sum_{p=1}^{r}b_{ip}[c_{p1}\cdots c_{pn}]\]

Logo, a \(i\)-ésima linha de \(A\) é uma combinação linear das \(r\) linhas de \(C\) com coeficientes vindos da linha \(i\) da matriz \(B\).

Comments

Professor, mas o fato da i-ésima linha de A ser uma combinação linear das r linhas de C com os coeficientes vindos da linha i da matriz B, garante necessariamente que as r linhas de C formam uma base para  as m linhas de A? Nos meus cálculos, essa relação é respeitada apenas quando a i-ésima linha de B for nula. Está correto esse raciocínio?

---

Sim, implica. Conta simples. Não? Apenas precisa-se exigir que as linhas de C sejam LI.