Se uma transformação linear T(x)=Ax é injetora, então A possui m linhas independentes?

Question

Seja \(T(x)=Ax\) uma transformação linear, onde \(A\) é uma matriz de ordem \(m\times n\), onde \(m\lt n\). Se \(T\) é injetora, então \(A\) tem \(m\) linhas independentes?

Answer 1

Se \(T\) é injetora, então temos:

\(\forall u\ne v\) então \(T(u)\ne T(v)\), ou seja,

\(\forall u\ne v\) então \(Au\ne Av\Rightarrow A(u-v)\ne 0\). Dessa forma, o sistema linear \(Ax=0\) possui apenas a solução \(x=0\) e, portanto, \(A\) precisa ter \(m\) linhas independentes.