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Se uma transformação linear T(x)=Ax é injetora, então A possui m linhas independentes?

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perguntada Set 28, 2016 em Matemática por danielcajueiro (5,376 pontos)  

Seja \(T(x)=Ax\) uma transformação linear, onde \(A\) é uma matriz de ordem \(m\times n\), onde \(m\lt n\). Se \(T\) é injetora, então \(A\) tem \(m\) linhas independentes?

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1 Resposta

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respondida Set 28, 2016 por danielcajueiro (5,376 pontos)  

Se \(T\) é injetora, então temos:

\(\forall u\ne v\) então \(T(u)\ne T(v)\), ou seja,

\(\forall u\ne v\) então \(Au\ne Av\Rightarrow A(u-v)\ne 0\). Dessa forma, o sistema linear \(Ax=0\) possui apenas a solução \(x=0\) e, portanto, \(A\) precisa ter \(m\) linhas independentes.

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