Question

Existem vetores \(v\) e \(w\) linearmente independentes tais que \(v\) e \((v + w)\) são linearmente dependentes?

Answer 1

Não!

Precisamos checar se a equação vetorial

\[a v + b (v+w)=0\]

possuem solução \(a\) e \(b\) diferente de zero. Note que essa equação pode ser reescrita da seguinte forma:

\[(a+b) v + b w=0\]

Sabendo que \(v\) e \(w\) são linearmente independentes, temos que \(b=0\) e (a+b=0\) cuja única solução é \(a=0\) e \(b=0\). Logo, \(v\) e \(v+w\) são linearmente independentes.

Comments

Professor, o vetor nulo é considerado LD a todo vetor? Pergunto isso porque achei que a resposta poderia ser sim se w=0.

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Qualquer conjunto contendo o vetor nulo é LD.