Sabemos que
\[dim N(T)+dim I(T)=dim V\]
Logo, se a imagem é igual ao núcleo, ambos tem a mesma dimensão e portanto a dimensão do espaço vetorial \(V\) precisa ser par. Note que no caso do \(\mathbb{R}^n\), então \(n\) precisa ser par.
Note que para isso ocorrer, sabendo que uma base do \(\mathbb{R}^n\) possui \(n\) vetores, os mesmos \(n/2\) vetores dessa base pertencem ao núcleo e a imagem e os outros \(n/2\) vetores restantes serão mapeados na imagem. Logo, os primeiros vetores \(n/2\) vetores precisam ser linear independentes (para ajudar a construir um exemplo lembre que dois vetores ortogonais no \(\mathbb{R}^n\) são linearmente independentes) com os \(n/2\) vetores restantes. Essa idéia dá pra construir um exemplo simples no \(\mathbb{R}^2\):
Suponha que \(e_1\) pertence ao núcleo e a imagem e \(e_2\) seja usado para gerar a imagem.
\[\left[ \begin{array}{cc}
a & b\\
c & d\\
\end{array} \right]e_1=0\]
\[\left[ \begin{array}{cc}
a & b\\
c & d\\
\end{array} \right]e_2=e_1\]
Da primeira equação temos que \(a=0\) e \(c=0\). Da segunda equação temos que \(b=1\) e \(d=0\).